WEBVTT

00:00:00.780 --> 00:00:04.880
Круг је вероватно најосновнији облик у нашем

00:00:04.880 --> 00:00:08.490
свемиру, било да посматрате облик орбита

00:00:08.490 --> 00:00:11.140
планета, било да погледате у точкове, било да погледате у

00:00:11.140 --> 00:00:12.840
ствари на молекуларном нивоу.

00:00:12.840 --> 00:00:15.860
Круг се једноставно појављује изнова и

00:00:15.860 --> 00:00:17.350
изнова и изнова поново.

00:00:17.350 --> 00:00:21.110
Дакле, вероватно је за нас вредно труда да разумемо

00:00:21.110 --> 00:00:23.330
својства круга.

00:00:23.330 --> 00:00:26.200
Дакле, прва ствар када су људи некако открили кру,г

00:00:26.200 --> 00:00:28.960
а само требате погледати у месец да бисте видели круг, али

00:00:28.960 --> 00:00:31.570
први пут када су рекли, добро, која су својства

00:00:31.570 --> 00:00:32.910
било ког круга?

00:00:32.910 --> 00:00:36.150
Дакле, прво што су можда желели рећи је добро, круг

00:00:36.150 --> 00:00:38.690
су све тачке које су на једнакој удаљености од

00:00:38.690 --> 00:00:40.440
центра круга.

00:00:40.440 --> 00:00:43.710
Све ове тачке дуж ивице су једнако удаљене од

00:00:43.710 --> 00:00:45.210
тог центра тачно тамо.

00:00:45.210 --> 00:00:47.620
Дакле, једна од првих ствари које би неко желео да упита јесте

00:00:47.620 --> 00:00:50.280
колика је удаљеност, та једнака удаљеност, на којој се све

00:00:50.280 --> 00:00:51.770
од центра налази?

00:00:51.770 --> 00:00:52.950
Управо тамо.

00:00:52.950 --> 00:00:58.110
Ми називамо то полупречником круга.

00:00:58.110 --> 00:01:00.350
То је удаљеност од центра до ивице.

00:01:00.350 --> 00:01:02.820
Ако је тај полупречник 3 центиметра, тада ће овај полупречник

00:01:02.820 --> 00:01:04.490
бити 3 центиметра.

00:01:04.490 --> 00:01:07.170
И овај полупречник ће бити 3 центиметра.

00:01:07.170 --> 00:01:08.270
То се никад неће променити.

00:01:08.270 --> 00:01:11.690
По дефиницији, кружница је скуп тачака које су на једнакој

00:01:11.690 --> 00:01:13.400
удаљености од централне тачке.

00:01:13.400 --> 00:01:17.050
А то растојање, то растојање је полупречник.

00:01:17.050 --> 00:01:19.880
Сада, следећа најинтересантнија чињеница о томе, људи би могли

00:01:19.880 --> 00:01:22.040
рећи, добро, колико је дебео круг?

00:01:22.040 --> 00:01:26.360
Колико, колико, колико је широк у односу на најудаљеније тачке?

00:01:26.360 --> 00:01:28.710
Или ако желите да га исечете дуж најудаљенијих тачака, колико

00:01:28.710 --> 00:01:30.390
је то растојање тачно тамо?

00:01:30.390 --> 00:01:32.340
А то не мора бити тачно тамо, могао бих једнако

00:01:32.340 --> 00:01:35.490
лако исећи то дуж најудаљенијих тачака тачно тамо.

00:01:35.490 --> 00:01:38.520
Не бих га секао дуж неког места попут тога

00:01:38.520 --> 00:01:40.120
пошто то не би било дуж његових наудаљенијих тачака.

00:01:40.120 --> 00:01:41.810
Постоје многа места где бих га могао исећи

00:01:41.810 --> 00:01:43.480
дуж његових најудаљенијих тачака.

00:01:43.480 --> 00:01:46.730
Па, управо смо видели полупречник и видели смо да најудаљеније тачке

00:01:46.730 --> 00:01:49.580
иду кроз центар и настављају даље.

00:01:49.580 --> 00:01:52.920
Дакле, то су у суштини два полупречника.

00:01:52.920 --> 00:01:55.640
Добили је сте један полупречник тамо и онда имате други

00:01:55.640 --> 00:01:57.240
полупречник тамо.

00:01:57.240 --> 00:02:01.380
Ову раздаљину дуж најудаљенијих тачака

00:02:01.380 --> 00:02:03.030
круга, називамо пречник.

00:02:03.030 --> 00:02:06.390
Дакле, то је пречник круга.

00:02:06.390 --> 00:02:09.260
Он има једноставну повезаност са полупречником.

00:02:09.260 --> 00:02:16.155
Пречник, пречник је једнак два пута полупречник. Два пута полупречник.

00:02:19.060 --> 00:02:21.790
Сада, следећа најзанимљивија чињеница коју бисте се могли

00:02:21.790 --> 00:02:24.560
запитати о кругу јесте колико је дугачко око круга?

00:02:24.560 --> 00:02:27.340
Дакле, ако бисте изнели врпцу за мерење и били способни да

00:02:27.340 --> 00:02:35.910
измерите около, около круга тако, ако бисте могли да измерите око круга попут тога, колика је та раздаљина?

00:02:35.910 --> 00:02:44.710
Ми називамо ту реч обимом, обимом, обимом круга.

00:02:44.710 --> 00:02:47.440
Сада, знамо како су повезани пречник и полупречник, али како

00:02:47.440 --> 00:02:49.790
како је обим повезан, са рецимо пречником.

00:02:49.790 --> 00:02:51.550
А ако нисте заиста навикнути на пречник, веома је

00:02:51.550 --> 00:02:54.290
лако да одредите како је он повезан са полупречником.

00:02:54.290 --> 00:02:57.130
Па, хиљадама година уназад, људи су узимали њихову врпцу

00:02:57.130 --> 00:02:58.890
за мерење и настављали мерење обима

00:02:58.890 --> 00:03:00.430
и полупречника.

00:03:00.430 --> 00:03:03.280
И рецимо када њихова врпца за мерење није била толико добра,

00:03:03.280 --> 00:03:05.010
рецимо да су мерили обим круга

00:03:05.010 --> 00:03:07.960
и они би добили, добро, то је сличило као да је око 3.

00:03:07.960 --> 00:03:11.600
А затим су они мерили полупречник круга управо овде

00:03:11.600 --> 00:03:14.280
или пречник тог круга, и они би рекли, ох, пречник

00:03:14.280 --> 00:03:16.290
личи да је око 1.

00:03:16.290 --> 00:03:17.740
Дакле, они би рекли.... дајте ми да запипем ово.

00:03:17.740 --> 00:03:21.750
Дакле, нас занима разломак... дозволите ми

00:03:21.750 --> 00:03:22.660
да запишем то овако.

00:03:22.660 --> 00:03:33.955
Разломак обима кроз пречник.

00:03:37.560 --> 00:03:40.900
Дакле, рецимо да је неко имао неки круг овде... рецимо

00:03:40.900 --> 00:03:43.170
да су имали овај круг и први пут са не тако

00:03:43.170 --> 00:03:45.880
добром врпцом за мерење, они су измерили ивицу круга

00:03:45.880 --> 00:03:49.340
и они су рекли, хеј, то је грубо једнако са 3 метра

00:03:49.340 --> 00:03:50.490
када идем скроз около њега.

00:03:50.490 --> 00:03:52.800
А када измерим пречник круга,

00:03:52.800 --> 00:03:55.050
он је грубо једнак са 1.

00:03:55.050 --> 00:03:56.000
У реду, то је интересантно.

00:03:56.000 --> 00:03:57.520
Можда је разломак обима

00:03:57.520 --> 00:03:58.500
кроз пречник једнак 3.

00:03:58.500 --> 00:04:00.820
Дакле, можда је обим увек три

00:04:00.820 --> 00:04:02.020
пута пречник.

00:04:02.020 --> 00:04:03.610
Добро, то је важило за овај круг, али рецимо да су они

00:04:03.610 --> 00:04:05.720
мерили овде неки други круг.

00:04:05.720 --> 00:04:07.870
Неки попут овог... Нацртао сам га мањег.

00:04:07.870 --> 00:04:11.200
Рецимо да су они на овом кругу мерили дужину ивице и да

00:04:11.200 --> 00:04:14.960
су открили да је обим 6 цетиметара,

00:04:14.960 --> 00:04:18.210
грубо... имали смо тада лошу врпцу за мерење.

00:04:18.210 --> 00:04:21.710
Затим су одредили да је пречник, да је пречник

00:04:21.710 --> 00:04:23.520
грубо 2 центиметра.

00:04:23.520 --> 00:04:25.490
И још једном, разломак обима кроз

00:04:25.490 --> 00:04:30.230
пречник, обима кроз пречник је био грубо 3.

00:04:30.230 --> 00:04:32.140
У реду, ово је фина особина кругова.

00:04:32.140 --> 00:04:35.430
Можда је разломак обима и пречника

00:04:35.430 --> 00:04:38.080
увек константан за сваки круг.

00:04:38.080 --> 00:04:40.260
Дакле, они рекоше, дајте да проучим ово даље.

00:04:40.260 --> 00:04:42.510
Тако да су отишли по бољу траку за мереље.

00:04:42.510 --> 00:04:45.090
Када су дошли до боље траке за мерење, они измере, хеј,

00:04:45.090 --> 00:04:47.630
мој пречник је дефинитивно 1.

00:04:47.630 --> 00:04:49.430
Они рекоше мој пречник је дефинитивно 1, али када

00:04:49.430 --> 00:04:51.810
измерим мој обим, уочавам

00:04:51.810 --> 00:04:53.040
да је ближе броју 3,1. Ближе броју 3,1.

00:04:56.000 --> 00:04:57.290
А исто је и са овим кругом овде.

00:04:57.290 --> 00:04:59.370
Приметише да је овај разломак ближи броју 3,1.

00:04:59.370 --> 00:05:01.830
Затим они наставише мерење тога прецизније и прецизније и прецизније,

00:05:01.830 --> 00:05:05.200
и онда схватише да су добијали овај број,

00:05:05.200 --> 00:05:07.300
наставише мерење тога све прецизније и прецизније и

00:05:07.300 --> 00:05:10.850
добише овај број 3,14159.

00:05:10.850 --> 00:05:12.550
И наставише додавање цифара а оне се

00:05:12.550 --> 00:05:13.620
никада нису понављале.

00:05:13.620 --> 00:05:16.640
Био је то чудно фасцинантан метафизички број

00:05:16.640 --> 00:05:18.300
који наставише да се приказује.

00:05:18.300 --> 00:05:20.940
Дакле, пошто је овај број био толико фундаменталан у нашем свемиру,

00:05:20.940 --> 00:05:23.500
пошто је круг толико фундаменталан за наш свемир,

00:05:23.500 --> 00:05:26.680
а он се појавио, појавио се за сваки круг.

00:05:26.680 --> 00:05:28.865
Разломак обима кроз пречник је био овај

00:05:28.865 --> 00:05:32.390
некако магичан број, они му дадоше име.

00:05:32.390 --> 00:05:37.580
Назвали су га пи, или бисте му могли доделити латинско или

00:05:37.580 --> 00:05:41.880
грчко слово пи... само тако.

00:05:41.880 --> 00:05:45.090
То представља овај број који је вероватно нај-

00:05:45.090 --> 00:05:46.790
фасцинантнији број у нашем свемиру.

00:05:46.790 --> 00:05:50.430
Он се прво приказао као количник обима и

00:05:50.430 --> 00:05:54.070
пречника, али ћете научити докле год идете кроз ваше

00:05:54.070 --> 00:05:57.160
математичко истраживање, да се он појављује свуда.

00:05:57.160 --> 00:05:59.500
Он је једна од ових фундаменталих ствари о свемиру која

00:05:59.500 --> 00:06:03.060
чини да мислите да постоји нека уређеност у њему.

00:06:03.060 --> 00:06:07.750
Али како било, како можемо користити ово у погађам

00:06:07.750 --> 00:06:09.330
нашој основној математици?

00:06:09.330 --> 00:06:12.490
Дакле, ми знамо, или ја вам говорим, да је разломак

00:06:12.490 --> 00:06:19.420
обима и пречника... када кажем разломак,

00:06:19.420 --> 00:06:21.390
дословно кажем ако поделите обим са

00:06:21.390 --> 00:06:28.400
пречником, добићете пи.

00:06:28.400 --> 00:06:29.500
Пи је овај број.

00:06:29.500 --> 00:06:33.570
Могао бих записати 3,14159 и наставити даље и даље,

00:06:33.570 --> 00:06:35.950
али то би било траћење простора и то би било тешко

00:06:35.950 --> 00:06:38.570
оствариво, тако да људи само запишу ово овде грчко

00:06:38.570 --> 00:06:40.330
слово пи.

00:06:40.330 --> 00:06:41.850
Дакле, како можемо повезати ово.

00:06:41.850 --> 00:06:44.920
Можемо помножити обе стране ове једнакости са пречником и

00:06:44.920 --> 00:06:48.640
можемо рећи да је обим једнак са пи

00:06:48.640 --> 00:06:50.820
пута пречник.

00:06:50.820 --> 00:06:55.570
Или, како је пречник једнак са 2 пута полупречник, могли бисмо

00:06:55.570 --> 00:06:59.420
рећи да је обим једнак са пи пута 2

00:06:59.420 --> 00:07:00.360
пута полупречник.

00:07:00.360 --> 00:07:03.450
Или облик који највише волите да видите,

00:07:03.450 --> 00:07:07.360
то је једнако са 2 пи r.

00:07:07.360 --> 00:07:11.220
Дакле, да видимо, можемо ли применити то на неке проблеме.

00:07:11.220 --> 00:07:17.240
Значи, рецимо да имам круг попут овог и да вам

00:07:17.240 --> 00:07:22.600
кажем да је његов полупречник... тај полупречник тачно тамо је 3.

00:07:22.600 --> 00:07:28.820
Дакле, 3... дајте да запишем то... дакле, полупречник је једнак са 3.

00:07:28.820 --> 00:07:32.310
Можда је то 3 метра... ставите неке јединице ту.

00:07:32.310 --> 00:07:34.660
Колики је обим овог круга?

00:07:34.660 --> 00:07:38.180
Обим је једнак са 2 пута пи пута полупречник.

00:07:38.180 --> 00:07:42.090
Дакле, он ће бити једнак са 2 пута пи пута полупречник,

00:07:42.090 --> 00:07:47.280
пута 3 метра, што је једнако са 6 метара пута

00:07:47.280 --> 00:07:49.520
пи или 6 пи метара.

00:07:49.520 --> 00:07:52.430
6 пи метара.

00:07:52.430 --> 00:07:53.740
Сада бих могао измножити ово.

00:07:53.740 --> 00:07:55.900
Запамтите, пи је само број.

00:07:55.900 --> 00:07:59.680
Пи је 3,14159 и тако даље и тако даље.

00:07:59.680 --> 00:08:03.460
Дакле, ако помножим 6 пута то, можда ћу добити 18 запета

00:08:03.460 --> 00:08:05.600
нешто нешто нешто.

00:08:05.600 --> 00:08:07.850
Ако имате ваш калкулатор можда бисте желели да израчунате то, али због

00:08:07.850 --> 00:08:10.490
једноставности људи теже ка томе да оставе наше бројеве

00:08:10.490 --> 00:08:12.120
у терминима броја пи.

00:08:12.120 --> 00:08:14.020
Сада не знам колико је ово, ако помножите 6 пута

00:08:14.020 --> 00:08:18.510
3,14159, не знам да ли добијете нешто близу 19 или

00:08:18.510 --> 00:08:20.910
18, можда је то приближно 18 запета нешто

00:08:20.910 --> 00:08:21.720
нешто нешто.

00:08:21.720 --> 00:08:23.450
Немам свој калкулатор испред себе.

00:08:23.450 --> 00:08:25.300
Али уместо записивања тог броја, само

00:08:25.300 --> 00:08:27.060
запишите 6 пи тамо.

00:08:27.060 --> 00:08:29.770
Заправо, мислим да неће нимало прећи

00:08:29.770 --> 00:08:31.430
границу од 19.

00:08:31.430 --> 00:08:33.770
Сада, упитајмо још једно питање.

00:08:33.770 --> 00:08:35.270
Колики је пречник круга? Колики је пречник?

00:08:38.580 --> 00:08:42.690
Па, ако је полупречник 3, пречник је само двоструко то.

00:08:42.690 --> 00:08:45.730
Дакле, он ће бити 3 пута 2 или 3 плус 3, што

00:08:45.730 --> 00:08:47.170
је једнако са 6 метара.

00:08:47.170 --> 00:08:50.750
Дакле, обим је 6 пи метара, пречник је 6

00:08:50.750 --> 00:08:53.620
метара, полупречник је 3 метра.

00:08:53.620 --> 00:08:55.110
Сада, хајдемо другим путем.

00:08:55.110 --> 00:08:57.310
Рецимо да имам други круг.

00:08:57.310 --> 00:09:01.220
Рецимо да имам други круг овде.

00:09:01.220 --> 00:09:04.620
И да вам кажем да је његов обим, обим је једнак

00:09:04.620 --> 00:09:08.560
са 10 метара... то је обим круга.

00:09:08.560 --> 00:09:10.990
Ако бисте ставили врпцу за мерење около њега и

00:09:10.990 --> 00:09:18.370
неко вас упитао колики је пречник круга?

00:09:18.370 --> 00:09:22.810
Па, знамо да је пречник пута пи, знамо да је пи пута

00:09:22.810 --> 00:09:26.830
пречник једнако са обимом; је

00:09:26.830 --> 00:09:28.700
једнако са 10 метара.

00:09:28.700 --> 00:09:31.020
Дакле, да решимо ово ми ћемо поделити обе стране

00:09:31.020 --> 00:09:32.520
ове једначине са пи.

00:09:32.520 --> 00:09:35.860
Пречник ће бити једнак 10 метара кроз пи или

00:09:35.860 --> 00:09:38.710
10 кроз пи метара.

00:09:38.710 --> 00:09:40.020
А то је само број.

00:09:40.020 --> 00:09:42.540
Ако имате ваш калкулатор, могли бисте заправо поделити 10

00:09:42.540 --> 00:09:46.030
подељено са 3,14159, добићете 3 запета нешто

00:09:46.030 --> 00:09:47.500
нешто нешто метара.

00:09:47.500 --> 00:09:48.960
Не могу израчунати то из главе.

00:09:48.960 --> 00:09:50.070
Али то је само број.

00:09:50.070 --> 00:09:53.320
Али због упрошћавања ми често оставимо ово овако.

00:09:53.320 --> 00:09:55.270
Сада, колики је попречник?

00:09:55.270 --> 00:09:58.590
Па, полупречник је једнак са 1/2 пречника.

00:09:58.590 --> 00:10:02.870
Дакле, ово цело растојање овде је 10 кроз пи метара.

00:10:02.870 --> 00:10:06.230
Ако израчунамо 1/2 тога, ако желимо полупречник,

00:10:06.230 --> 00:10:07.580
само множимо то пута 1/2.

00:10:07.580 --> 00:10:13.160
Дакле, имате 1/2 пута 10 кроз пи, што је једнако са 1/2 пута

00:10:13.160 --> 00:10:16.770
10 или само поделите бројилац и

00:10:16.770 --> 00:10:18.140
именилац са 2.

00:10:18.140 --> 00:10:21.130
Добијете 5 тамо, дакле, добијете 5 кроз пи.

00:10:21.130 --> 00:10:23.890
Дакле, пречник овде је 5 кроз пи.

00:10:23.890 --> 00:10:25.690
Ништа посебно око овога.

00:10:25.690 --> 00:10:29.760
Мислим да је ствар која највише збуњује људе јесте

00:10:29.760 --> 00:10:31.820
да се схвати да је пи број.

00:10:31.820 --> 00:10:38.640
Пи је само 3,14159 и само се наставља даље и даље.

00:10:38.640 --> 00:10:41.950
Постоји заправо хиљада књига записаних о броју пи, дакле,

00:10:41.950 --> 00:10:45.100
то није... не знам да ли постоји хиљаду

00:10:45.100 --> 00:10:48.340
претерујем, али ви бисте могли записати књигу о овом броју.

00:10:48.340 --> 00:10:49.340
Али то је само број.

00:10:49.340 --> 00:10:52.480
То је веома посебан број и ако желите да га запишете на

00:10:52.480 --> 00:10:54.390
начин на који сте навикли да записујете бројеве, могли бисте дословно

00:10:54.390 --> 00:10:55.680
само измножити ово.

00:10:55.680 --> 00:10:58.530
Али већину времена људи само схвате да им се допада да оставе

00:10:58.530 --> 00:11:00.640
ствари у облику пи.

00:11:00.640 --> 00:11:01.680
Како било, остављам вас овде.

00:11:01.680 --> 00:11:05.090
У следећем снимку, одредићемо површину круга.