1
00:00:00,780 --> 00:00:04,880
Круг је вероватно најосновнији облик у нашем

2
00:00:04,880 --> 00:00:08,490
свемиру, било да посматрате облик орбита

3
00:00:08,490 --> 00:00:11,140
планета, било да погледате у точкове, било да погледате у

4
00:00:11,140 --> 00:00:12,840
ствари на молекуларном нивоу.

5
00:00:12,840 --> 00:00:15,860
Круг се једноставно појављује изнова и

6
00:00:15,860 --> 00:00:17,350
изнова и изнова поново.

7
00:00:17,350 --> 00:00:21,110
Дакле, вероватно је за нас вредно труда да разумемо

8
00:00:21,110 --> 00:00:23,330
својства круга.

9
00:00:23,330 --> 00:00:26,200
Дакле, прва ствар када су људи некако открили кру,г

10
00:00:26,200 --> 00:00:28,960
а само требате погледати у месец да бисте видели круг, али

11
00:00:28,960 --> 00:00:31,570
први пут када су рекли, добро, која су својства

12
00:00:31,570 --> 00:00:32,910
било ког круга?

13
00:00:32,910 --> 00:00:36,150
Дакле, прво што су можда желели рећи је добро, круг

14
00:00:36,150 --> 00:00:38,690
су све тачке које су на једнакој удаљености од

15
00:00:38,690 --> 00:00:40,440
центра круга.

16
00:00:40,440 --> 00:00:43,710
Све ове тачке дуж ивице су једнако удаљене од

17
00:00:43,710 --> 00:00:45,210
тог центра тачно тамо.

18
00:00:45,210 --> 00:00:47,620
Дакле, једна од првих ствари које би неко желео да упита јесте

19
00:00:47,620 --> 00:00:50,280
колика је удаљеност, та једнака удаљеност, на којој се све

20
00:00:50,280 --> 00:00:51,770
од центра налази?

21
00:00:51,770 --> 00:00:52,950
Управо тамо.

22
00:00:52,950 --> 00:00:58,110
Ми називамо то полупречником круга.

23
00:00:58,110 --> 00:01:00,350
То је удаљеност од центра до ивице.

24
00:01:00,350 --> 00:01:02,820
Ако је тај полупречник 3 центиметра, тада ће овај полупречник

25
00:01:02,820 --> 00:01:04,490
бити 3 центиметра.

26
00:01:04,490 --> 00:01:07,170
И овај полупречник ће бити 3 центиметра.

27
00:01:07,170 --> 00:01:08,270
То се никад неће променити.

28
00:01:08,270 --> 00:01:11,690
По дефиницији, кружница је скуп тачака које су на једнакој

29
00:01:11,690 --> 00:01:13,400
удаљености од централне тачке.

30
00:01:13,400 --> 00:01:17,050
А то растојање, то растојање је полупречник.

31
00:01:17,050 --> 00:01:19,880
Сада, следећа најинтересантнија чињеница о томе, људи би могли

32
00:01:19,880 --> 00:01:22,040
рећи, добро, колико је дебео круг?

33
00:01:22,040 --> 00:01:26,360
Колико, колико, колико је широк у односу на најудаљеније тачке?

34
00:01:26,360 --> 00:01:28,710
Или ако желите да га исечете дуж најудаљенијих тачака, колико

35
00:01:28,710 --> 00:01:30,390
је то растојање тачно тамо?

36
00:01:30,390 --> 00:01:32,340
А то не мора бити тачно тамо, могао бих једнако

37
00:01:32,340 --> 00:01:35,490
лако исећи то дуж најудаљенијих тачака тачно тамо.

38
00:01:35,490 --> 00:01:38,520
Не бих га секао дуж неког места попут тога

39
00:01:38,520 --> 00:01:40,120
пошто то не би било дуж његових наудаљенијих тачака.

40
00:01:40,120 --> 00:01:41,810
Постоје многа места где бих га могао исећи

41
00:01:41,810 --> 00:01:43,480
дуж његових најудаљенијих тачака.

42
00:01:43,480 --> 00:01:46,730
Па, управо смо видели полупречник и видели смо да најудаљеније тачке

43
00:01:46,730 --> 00:01:49,580
иду кроз центар и настављају даље.

44
00:01:49,580 --> 00:01:52,920
Дакле, то су у суштини два полупречника.

45
00:01:52,920 --> 00:01:55,640
Добили је сте један полупречник тамо и онда имате други

46
00:01:55,640 --> 00:01:57,240
полупречник тамо.

47
00:01:57,240 --> 00:02:01,380
Ову раздаљину дуж најудаљенијих тачака

48
00:02:01,380 --> 00:02:03,030
круга, називамо пречник.

49
00:02:03,030 --> 00:02:06,390
Дакле, то је пречник круга.

50
00:02:06,390 --> 00:02:09,260
Он има једноставну повезаност са полупречником.

51
00:02:09,260 --> 00:02:16,155
Пречник, пречник је једнак два пута полупречник. Два пута полупречник.

52
00:02:19,060 --> 00:02:21,790
Сада, следећа најзанимљивија чињеница коју бисте се могли

53
00:02:21,790 --> 00:02:24,560
запитати о кругу јесте колико је дугачко око круга?

54
00:02:24,560 --> 00:02:27,340
Дакле, ако бисте изнели врпцу за мерење и били способни да

55
00:02:27,340 --> 00:02:35,910
измерите около, около круга тако, ако бисте могли да измерите око круга попут тога, колика је та раздаљина?

56
00:02:35,910 --> 00:02:44,710
Ми називамо ту реч обимом, обимом, обимом круга.

57
00:02:44,710 --> 00:02:47,440
Сада, знамо како су повезани пречник и полупречник, али како

58
00:02:47,440 --> 00:02:49,790
како је обим повезан, са рецимо пречником.

59
00:02:49,790 --> 00:02:51,550
А ако нисте заиста навикнути на пречник, веома је

60
00:02:51,550 --> 00:02:54,290
лако да одредите како је он повезан са полупречником.

61
00:02:54,290 --> 00:02:57,130
Па, хиљадама година уназад, људи су узимали њихову врпцу

62
00:02:57,130 --> 00:02:58,890
за мерење и настављали мерење обима

63
00:02:58,890 --> 00:03:00,430
и полупречника.

64
00:03:00,430 --> 00:03:03,280
И рецимо када њихова врпца за мерење није била толико добра,

65
00:03:03,280 --> 00:03:05,010
рецимо да су мерили обим круга

66
00:03:05,010 --> 00:03:07,960
и они би добили, добро, то је сличило као да је око 3.

67
00:03:07,960 --> 00:03:11,600
А затим су они мерили полупречник круга управо овде

68
00:03:11,600 --> 00:03:14,280
или пречник тог круга, и они би рекли, ох, пречник

69
00:03:14,280 --> 00:03:16,290
личи да је око 1.

70
00:03:16,290 --> 00:03:17,740
Дакле, они би рекли.... дајте ми да запипем ово.

71
00:03:17,740 --> 00:03:21,750
Дакле, нас занима разломак... дозволите ми

72
00:03:21,750 --> 00:03:22,660
да запишем то овако.

73
00:03:22,660 --> 00:03:33,955
Разломак обима кроз пречник.

74
00:03:37,560 --> 00:03:40,900
Дакле, рецимо да је неко имао неки круг овде... рецимо

75
00:03:40,900 --> 00:03:43,170
да су имали овај круг и први пут са не тако

76
00:03:43,170 --> 00:03:45,880
добром врпцом за мерење, они су измерили ивицу круга

77
00:03:45,880 --> 00:03:49,340
и они су рекли, хеј, то је грубо једнако са 3 метра

78
00:03:49,340 --> 00:03:50,490
када идем скроз около њега.

79
00:03:50,490 --> 00:03:52,800
А када измерим пречник круга,

80
00:03:52,800 --> 00:03:55,050
он је грубо једнак са 1.

81
00:03:55,050 --> 00:03:56,000
У реду, то је интересантно.

82
00:03:56,000 --> 00:03:57,520
Можда је разломак обима

83
00:03:57,520 --> 00:03:58,500
кроз пречник једнак 3.

84
00:03:58,500 --> 00:04:00,820
Дакле, можда је обим увек три

85
00:04:00,820 --> 00:04:02,020
пута пречник.

86
00:04:02,020 --> 00:04:03,610
Добро, то је важило за овај круг, али рецимо да су они

87
00:04:03,610 --> 00:04:05,720
мерили овде неки други круг.

88
00:04:05,720 --> 00:04:07,870
Неки попут овог... Нацртао сам га мањег.

89
00:04:07,870 --> 00:04:11,200
Рецимо да су они на овом кругу мерили дужину ивице и да

90
00:04:11,200 --> 00:04:14,960
су открили да је обим 6 цетиметара,

91
00:04:14,960 --> 00:04:18,210
грубо... имали смо тада лошу врпцу за мерење.

92
00:04:18,210 --> 00:04:21,710
Затим су одредили да је пречник, да је пречник

93
00:04:21,710 --> 00:04:23,520
грубо 2 центиметра.

94
00:04:23,520 --> 00:04:25,490
И још једном, разломак обима кроз

95
00:04:25,490 --> 00:04:30,230
пречник, обима кроз пречник је био грубо 3.

96
00:04:30,230 --> 00:04:32,140
У реду, ово је фина особина кругова.

97
00:04:32,140 --> 00:04:35,430
Можда је разломак обима и пречника

98
00:04:35,430 --> 00:04:38,080
увек константан за сваки круг.

99
00:04:38,080 --> 00:04:40,260
Дакле, они рекоше, дајте да проучим ово даље.

100
00:04:40,260 --> 00:04:42,510
Тако да су отишли по бољу траку за мереље.

101
00:04:42,510 --> 00:04:45,090
Када су дошли до боље траке за мерење, они измере, хеј,

102
00:04:45,090 --> 00:04:47,630
мој пречник је дефинитивно 1.

103
00:04:47,630 --> 00:04:49,430
Они рекоше мој пречник је дефинитивно 1, али када

104
00:04:49,430 --> 00:04:51,810
измерим мој обим, уочавам

105
00:04:51,810 --> 00:04:53,040
да је ближе броју 3,1. Ближе броју 3,1.

106
00:04:56,000 --> 00:04:57,290
А исто је и са овим кругом овде.

107
00:04:57,290 --> 00:04:59,370
Приметише да је овај разломак ближи броју 3,1.

108
00:04:59,370 --> 00:05:01,830
Затим они наставише мерење тога прецизније и прецизније и прецизније,

109
00:05:01,830 --> 00:05:05,200
и онда схватише да су добијали овај број,

110
00:05:05,200 --> 00:05:07,300
наставише мерење тога све прецизније и прецизније и

111
00:05:07,300 --> 00:05:10,850
добише овај број 3,14159.

112
00:05:10,850 --> 00:05:12,550
И наставише додавање цифара а оне се

113
00:05:12,550 --> 00:05:13,620
никада нису понављале.

114
00:05:13,620 --> 00:05:16,640
Био је то чудно фасцинантан метафизички број

115
00:05:16,640 --> 00:05:18,300
који наставише да се приказује.

116
00:05:18,300 --> 00:05:20,940
Дакле, пошто је овај број био толико фундаменталан у нашем свемиру,

117
00:05:20,940 --> 00:05:23,500
пошто је круг толико фундаменталан за наш свемир,

118
00:05:23,500 --> 00:05:26,680
а он се појавио, појавио се за сваки круг.

119
00:05:26,680 --> 00:05:28,865
Разломак обима кроз пречник је био овај

120
00:05:28,865 --> 00:05:32,390
некако магичан број, они му дадоше име.

121
00:05:32,390 --> 00:05:37,580
Назвали су га пи, или бисте му могли доделити латинско или

122
00:05:37,580 --> 00:05:41,880
грчко слово пи... само тако.

123
00:05:41,880 --> 00:05:45,090
То представља овај број који је вероватно нај-

124
00:05:45,090 --> 00:05:46,790
фасцинантнији број у нашем свемиру.

125
00:05:46,790 --> 00:05:50,430
Он се прво приказао као количник обима и

126
00:05:50,430 --> 00:05:54,070
пречника, али ћете научити докле год идете кроз ваше

127
00:05:54,070 --> 00:05:57,160
математичко истраживање, да се он појављује свуда.

128
00:05:57,160 --> 00:05:59,500
Он је једна од ових фундаменталих ствари о свемиру која

129
00:05:59,500 --> 00:06:03,060
чини да мислите да постоји нека уређеност у њему.

130
00:06:03,060 --> 00:06:07,750
Али како било, како можемо користити ово у погађам

131
00:06:07,750 --> 00:06:09,330
нашој основној математици?

132
00:06:09,330 --> 00:06:12,490
Дакле, ми знамо, или ја вам говорим, да је разломак

133
00:06:12,490 --> 00:06:19,420
обима и пречника... када кажем разломак,

134
00:06:19,420 --> 00:06:21,390
дословно кажем ако поделите обим са

135
00:06:21,390 --> 00:06:28,400
пречником, добићете пи.

136
00:06:28,400 --> 00:06:29,500
Пи је овај број.

137
00:06:29,500 --> 00:06:33,570
Могао бих записати 3,14159 и наставити даље и даље,

138
00:06:33,570 --> 00:06:35,950
али то би било траћење простора и то би било тешко

139
00:06:35,950 --> 00:06:38,570
оствариво, тако да људи само запишу ово овде грчко

140
00:06:38,570 --> 00:06:40,330
слово пи.

141
00:06:40,330 --> 00:06:41,850
Дакле, како можемо повезати ово.

142
00:06:41,850 --> 00:06:44,920
Можемо помножити обе стране ове једнакости са пречником и

143
00:06:44,920 --> 00:06:48,640
можемо рећи да је обим једнак са пи

144
00:06:48,640 --> 00:06:50,820
пута пречник.

145
00:06:50,820 --> 00:06:55,570
Или, како је пречник једнак са 2 пута полупречник, могли бисмо

146
00:06:55,570 --> 00:06:59,420
рећи да је обим једнак са пи пута 2

147
00:06:59,420 --> 00:07:00,360
пута полупречник.

148
00:07:00,360 --> 00:07:03,450
Или облик који највише волите да видите,

149
00:07:03,450 --> 00:07:07,360
то је једнако са 2 пи r.

150
00:07:07,360 --> 00:07:11,220
Дакле, да видимо, можемо ли применити то на неке проблеме.

151
00:07:11,220 --> 00:07:17,240
Значи, рецимо да имам круг попут овог и да вам

152
00:07:17,240 --> 00:07:22,600
кажем да је његов полупречник... тај полупречник тачно тамо је 3.

153
00:07:22,600 --> 00:07:28,820
Дакле, 3... дајте да запишем то... дакле, полупречник је једнак са 3.

154
00:07:28,820 --> 00:07:32,310
Можда је то 3 метра... ставите неке јединице ту.

155
00:07:32,310 --> 00:07:34,660
Колики је обим овог круга?

156
00:07:34,660 --> 00:07:38,180
Обим је једнак са 2 пута пи пута полупречник.

157
00:07:38,180 --> 00:07:42,090
Дакле, он ће бити једнак са 2 пута пи пута полупречник,

158
00:07:42,090 --> 00:07:47,280
пута 3 метра, што је једнако са 6 метара пута

159
00:07:47,280 --> 00:07:49,520
пи или 6 пи метара.

160
00:07:49,520 --> 00:07:52,430
6 пи метара.

161
00:07:52,430 --> 00:07:53,740
Сада бих могао измножити ово.

162
00:07:53,740 --> 00:07:55,900
Запамтите, пи је само број.

163
00:07:55,900 --> 00:07:59,680
Пи је 3,14159 и тако даље и тако даље.

164
00:07:59,680 --> 00:08:03,460
Дакле, ако помножим 6 пута то, можда ћу добити 18 запета

165
00:08:03,460 --> 00:08:05,600
нешто нешто нешто.

166
00:08:05,600 --> 00:08:07,850
Ако имате ваш калкулатор можда бисте желели да израчунате то, али због

167
00:08:07,850 --> 00:08:10,490
једноставности људи теже ка томе да оставе наше бројеве

168
00:08:10,490 --> 00:08:12,120
у терминима броја пи.

169
00:08:12,120 --> 00:08:14,020
Сада не знам колико је ово, ако помножите 6 пута

170
00:08:14,020 --> 00:08:18,510
3,14159, не знам да ли добијете нешто близу 19 или

171
00:08:18,510 --> 00:08:20,910
18, можда је то приближно 18 запета нешто

172
00:08:20,910 --> 00:08:21,720
нешто нешто.

173
00:08:21,720 --> 00:08:23,450
Немам свој калкулатор испред себе.

174
00:08:23,450 --> 00:08:25,300
Али уместо записивања тог броја, само

175
00:08:25,300 --> 00:08:27,060
запишите 6 пи тамо.

176
00:08:27,060 --> 00:08:29,770
Заправо, мислим да неће нимало прећи

177
00:08:29,770 --> 00:08:31,430
границу од 19.

178
00:08:31,430 --> 00:08:33,770
Сада, упитајмо још једно питање.

179
00:08:33,770 --> 00:08:35,270
Колики је пречник круга? Колики је пречник?

180
00:08:38,580 --> 00:08:42,690
Па, ако је полупречник 3, пречник је само двоструко то.

181
00:08:42,690 --> 00:08:45,730
Дакле, он ће бити 3 пута 2 или 3 плус 3, што

182
00:08:45,730 --> 00:08:47,170
је једнако са 6 метара.

183
00:08:47,170 --> 00:08:50,750
Дакле, обим је 6 пи метара, пречник је 6

184
00:08:50,750 --> 00:08:53,620
метара, полупречник је 3 метра.

185
00:08:53,620 --> 00:08:55,110
Сада, хајдемо другим путем.

186
00:08:55,110 --> 00:08:57,310
Рецимо да имам други круг.

187
00:08:57,310 --> 00:09:01,220
Рецимо да имам други круг овде.

188
00:09:01,220 --> 00:09:04,620
И да вам кажем да је његов обим, обим је једнак

189
00:09:04,620 --> 00:09:08,560
са 10 метара... то је обим круга.

190
00:09:08,560 --> 00:09:10,990
Ако бисте ставили врпцу за мерење около њега и

191
00:09:10,990 --> 00:09:18,370
неко вас упитао колики је пречник круга?

192
00:09:18,370 --> 00:09:22,810
Па, знамо да је пречник пута пи, знамо да је пи пута

193
00:09:22,810 --> 00:09:26,830
пречник једнако са обимом; је

194
00:09:26,830 --> 00:09:28,700
једнако са 10 метара.

195
00:09:28,700 --> 00:09:31,020
Дакле, да решимо ово ми ћемо поделити обе стране

196
00:09:31,020 --> 00:09:32,520
ове једначине са пи.

197
00:09:32,520 --> 00:09:35,860
Пречник ће бити једнак 10 метара кроз пи или

198
00:09:35,860 --> 00:09:38,710
10 кроз пи метара.

199
00:09:38,710 --> 00:09:40,020
А то је само број.

200
00:09:40,020 --> 00:09:42,540
Ако имате ваш калкулатор, могли бисте заправо поделити 10

201
00:09:42,540 --> 00:09:46,030
подељено са 3,14159, добићете 3 запета нешто

202
00:09:46,030 --> 00:09:47,500
нешто нешто метара.

203
00:09:47,500 --> 00:09:48,960
Не могу израчунати то из главе.

204
00:09:48,960 --> 00:09:50,070
Али то је само број.

205
00:09:50,070 --> 00:09:53,320
Али због упрошћавања ми често оставимо ово овако.

206
00:09:53,320 --> 00:09:55,270
Сада, колики је попречник?

207
00:09:55,270 --> 00:09:58,590
Па, полупречник је једнак са 1/2 пречника.

208
00:09:58,590 --> 00:10:02,870
Дакле, ово цело растојање овде је 10 кроз пи метара.

209
00:10:02,870 --> 00:10:06,230
Ако израчунамо 1/2 тога, ако желимо полупречник,

210
00:10:06,230 --> 00:10:07,580
само множимо то пута 1/2.

211
00:10:07,580 --> 00:10:13,160
Дакле, имате 1/2 пута 10 кроз пи, што је једнако са 1/2 пута

212
00:10:13,160 --> 00:10:16,770
10 или само поделите бројилац и

213
00:10:16,770 --> 00:10:18,140
именилац са 2.

214
00:10:18,140 --> 00:10:21,130
Добијете 5 тамо, дакле, добијете 5 кроз пи.

215
00:10:21,130 --> 00:10:23,890
Дакле, пречник овде је 5 кроз пи.

216
00:10:23,890 --> 00:10:25,690
Ништа посебно око овога.

217
00:10:25,690 --> 00:10:29,760
Мислим да је ствар која највише збуњује људе јесте

218
00:10:29,760 --> 00:10:31,820
да се схвати да је пи број.

219
00:10:31,820 --> 00:10:38,640
Пи је само 3,14159 и само се наставља даље и даље.

220
00:10:38,640 --> 00:10:41,950
Постоји заправо хиљада књига записаних о броју пи, дакле,

221
00:10:41,950 --> 00:10:45,100
то није... не знам да ли постоји хиљаду

222
00:10:45,100 --> 00:10:48,340
претерујем, али ви бисте могли записати књигу о овом броју.

223
00:10:48,340 --> 00:10:49,340
Али то је само број.

224
00:10:49,340 --> 00:10:52,480
То је веома посебан број и ако желите да га запишете на

225
00:10:52,480 --> 00:10:54,390
начин на који сте навикли да записујете бројеве, могли бисте дословно

226
00:10:54,390 --> 00:10:55,680
само измножити ово.

227
00:10:55,680 --> 00:10:58,530
Али већину времена људи само схвате да им се допада да оставе

228
00:10:58,530 --> 00:11:00,640
ствари у облику пи.

229
00:11:00,640 --> 00:11:01,680
Како било, остављам вас овде.

230
00:11:01,680 --> 00:11:05,090
У следећем снимку, одредићемо површину круга.