1
00:00:00,780 --> 00:00:04,880
Kruh je asi najzákladnejším útvarom nášho vermíru,

2
00:00:04,880 --> 00:00:08,490
či už sa pozeráme na obežné dráhy planét,

3
00:00:08,490 --> 00:00:11,140
kolesá

4
00:00:11,140 --> 00:00:12,840
alebo veci na molekulárnej úrovni.

5
00:00:12,840 --> 00:00:15,860
Kruh sa jednoducho stále a stále

6
00:00:15,860 --> 00:00:17,350
všade objavuje.

7
00:00:17,350 --> 00:00:21,110
Takže sa nám určite zíde rozumieť niektorým jeho

8
00:00:21,110 --> 00:00:23,330
základným vlastnostiam.

9
00:00:23,330 --> 00:00:26,200
Ľudí prirodzene zaujímali vlastnosti kruhu

10
00:00:26,200 --> 00:00:28,960
(videli obrovský kruh už len keď pozreli na mesiac v noci)

11
00:00:28,960 --> 00:00:31,570
a určite nastal niekedy moment, keď si prvýkrát niekto povedal:

12
00:00:31,570 --> 00:00:32,910
Aké sú vlastnosti kruhu?

13
00:00:32,910 --> 00:00:36,150
Prvú vec, ktorú si mohli všimnúť je, že kruh sú vlastne

14
00:00:36,150 --> 00:00:38,690
vsetky body rovnako vzdialené

15
00:00:38,690 --> 00:00:40,440
od jedného bodu.

16
00:00:40,440 --> 00:00:43,710
Všetky tieto body tu, sú rovnako vzdialené od

17
00:00:43,710 --> 00:00:45,210
tohoto stredu.

18
00:00:45,210 --> 00:00:47,620
Prvá vec, ktorú sa môžete pýtať, je, že

19
00:00:47,620 --> 00:00:50,280
čo je tá rovnaká vzdialenosť

20
00:00:50,280 --> 00:00:51,770
od stredu?

21
00:00:51,770 --> 00:00:52,950
Tá presne tu?

22
00:00:52,950 --> 00:00:58,110
Volá sa polomer.

23
00:00:58,110 --> 00:01:00,350
Je to vzdialenosť od stredu po okraj.

24
00:01:00,350 --> 00:01:02,820
Ak je tento polomer 3 cemtimetre, tak aj tento polomer

25
00:01:02,820 --> 00:01:04,490
bude 3 cemtimetre.

26
00:01:04,490 --> 00:01:07,170
Aj tento polomer bude 3 centimetre.

27
00:01:07,170 --> 00:01:08,270
Nikde nebude iný.

28
00:01:08,270 --> 00:01:11,690
Kruh je podľa definície všetky body, ktoré sú rovnako

29
00:01:11,690 --> 00:01:13,400
vzdialené od stredu.

30
00:01:13,400 --> 00:01:17,050
A tá vzdialenosť je práve polomer.

31
00:01:17,050 --> 00:01:19,880
Druhá zaujímavá vec, ktorú mohli ľudia chcieť vedieť, je

32
00:01:19,880 --> 00:01:22,040
aký je kruh "tučný"?

33
00:01:22,040 --> 00:01:26,360
Kde je najširší?

34
00:01:26,360 --> 00:01:28,710
Alebo keby sme ho prestrihli na najširšom mieste,

35
00:01:28,710 --> 00:01:30,390
aká by toto bola dĺžka?

36
00:01:30,390 --> 00:01:32,340
A dokonca to nemusí byť len tu. Možeme

37
00:01:32,340 --> 00:01:35,490
kruh prestrihnúť rovnako najširším miestom aj tu.

38
00:01:35,490 --> 00:01:38,520
Len ho nesmiem prestrihnúť niekde ako napríklad tu,

39
00:01:38,520 --> 00:01:40,120
lebo to by nebolo najširšie miesto.

40
00:01:40,120 --> 00:01:41,810
Je veľa možností ako kruh prestrihnúť na jeho

41
00:01:41,810 --> 00:01:43,480
najširšom mieste.

42
00:01:43,480 --> 00:01:46,730
Už sme videli polomer a teraz vidíme, že najširšia časť kruhu,

43
00:01:46,730 --> 00:01:49,580
prechadza cez stred kruhu.

44
00:01:49,580 --> 00:01:52,920
Čiže vlastne to sú dva polomery.

45
00:01:52,920 --> 00:01:55,640
Jeden polomer máme tu a druhý polomer

46
00:01:55,640 --> 00:01:57,240
máme tu.

47
00:01:57,240 --> 00:02:01,380
Túto vzdialenosť voláme

48
00:02:01,380 --> 00:02:03,030
priemer kruhu.

49
00:02:03,030 --> 00:02:06,390
Takže toto je priemer kruhu.

50
00:02:06,390 --> 00:02:09,260
A má jednoduchý vzťah s polomerom.

51
00:02:09,260 --> 00:02:16,155
Priemer sa rovná dvom polomerom.
Priemer = 2 * Polomer

52
00:02:19,060 --> 00:02:21,790
Ďalšia najzaujímavejšia vec, ktorá vás môže zaujímať,

53
00:02:21,790 --> 00:02:24,560
je ako je to ďaleko OKOLO celého kruhu.

54
00:02:24,560 --> 00:02:27,340
Keby ste si zobrali meter

55
00:02:27,340 --> 00:02:35,910
a odmerali by ste okraj kruhu, aká by to bola dĺžka?

56
00:02:35,910 --> 00:02:44,710
Volá sa obvod.

57
00:02:44,710 --> 00:02:47,440
Už vieme aký je vzťah medzi polomerom a priemerom, ale

58
00:02:47,440 --> 00:02:49,790
aký je vzťah medzi obvodom a napríklad priemerom?

59
00:02:49,790 --> 00:02:51,550
A ak sa vám nepáči priemer,

60
00:02:51,550 --> 00:02:54,290
vždý sa dá nájsť vzťah s polomerom.

61
00:02:54,290 --> 00:02:57,130
Tisícky rokov dozadu, ľudia vytiahli svoje metre

62
00:02:57,130 --> 00:02:58,890
a merali obvody a polomery

63
00:02:58,890 --> 00:03:00,430
kruhov.

64
00:03:00,430 --> 00:03:03,280
A povedzme, že ich metre neboli zrovna najpresnejšie.

65
00:03:03,280 --> 00:03:05,010
Povedzme, že keď odmerali obvod,

66
00:03:05,010 --> 00:03:07,960
vychádzal im na približne 3.

67
00:03:07,960 --> 00:03:11,600
Potom odmerali priemer kruhu

68
00:03:11,600 --> 00:03:14,280
a povedali si, že priemer je

69
00:03:14,280 --> 00:03:16,290
približne 1.

70
00:03:16,290 --> 00:03:17,740
Potom by si povedali, že si to zapíšu.

71
00:03:17,740 --> 00:03:21,750
A keďže ich zaujímal pomer,

72
00:03:21,750 --> 00:03:22,660
prepísali si to takto.

73
00:03:22,660 --> 00:03:33,955
Pomer obvodu kruhu ku priemeru kruhu.

74
00:03:37,560 --> 00:03:40,900
Takže povedzme, že niekto mal takýto kruh.

75
00:03:40,900 --> 00:03:43,170
Presne taký istý ako náš.

76
00:03:43,170 --> 00:03:45,880
Odmerali obvod kruhu

77
00:03:45,880 --> 00:03:49,340
a povedali si, že je to približne

78
00:03:49,340 --> 00:03:50,490
3 metre.

79
00:03:50,490 --> 00:03:52,800
A keď odmerali priemer kruhu,

80
00:03:52,800 --> 00:03:55,050
bolo to približne 1.

81
00:03:55,050 --> 00:03:56,000
Dobre, to je zaujímave.

82
00:03:56,000 --> 00:03:57,520
Možno pomer obvodu ku priemeru je

83
00:03:57,520 --> 00:03:58,500
naozaj 3.

84
00:03:58,500 --> 00:04:00,820
Možno obvod kruhu je vždy presne trikrát toľko

85
00:04:00,820 --> 00:04:02,020
ako jeho priemer.

86
00:04:02,020 --> 00:04:03,610
Ešte vždy to ale mohlo byť tak iba pre ten jediný kruh.

87
00:04:03,610 --> 00:04:05,720
Tak to skúsili pre iný kruh.

88
00:04:05,720 --> 00:04:07,870
Trošku iný.

89
00:04:07,870 --> 00:04:11,200
Povedzme, že keď odmerali obvod kruhu, namerali

90
00:04:11,200 --> 00:04:14,960
približne 6 centimetrov.

91
00:04:14,960 --> 00:04:18,210
(Stále mali nepresné metre)

92
00:04:18,210 --> 00:04:21,710
Potom odmerali priemer, a vyšli im

93
00:04:21,710 --> 00:04:23,520
2 centimetre.

94
00:04:23,520 --> 00:04:25,490
A zasa sa im potvrdilo, že pomer obvodu ku priemeru,

95
00:04:25,490 --> 00:04:30,230
je približne 3.

96
00:04:30,230 --> 00:04:32,140
To je celkom pekná vlastnosť.

97
00:04:32,140 --> 00:04:35,430
Možno je pomer obvodu ku priemeru vo všetkých kruhoch

98
00:04:35,430 --> 00:04:38,080
rovnaký.

99
00:04:38,080 --> 00:04:40,260
Ale vo výskume pokračovali.

100
00:04:40,260 --> 00:04:42,510
Našli si presnejšie meracie nástroje.

101
00:04:42,510 --> 00:04:45,090
Odmerali svoj prvý kruh ešte raz a zistili,

102
00:04:45,090 --> 00:04:47,630
že ich priemer je určite 1.

103
00:04:47,630 --> 00:04:49,430
Povedali si, že ich priemer je určite presne 1, ale

104
00:04:49,430 --> 00:04:51,810
keď odmerali obvod, priblížil

105
00:04:51,810 --> 00:04:53,040
sa skôr ku 3,1.

106
00:04:56,000 --> 00:04:57,290
A rovnako to bolo aj s pomerom tu.

107
00:04:57,290 --> 00:04:59,370
Zistili, že ich pomer je bližšie ku 3,1.

108
00:04:59,370 --> 00:05:01,830
Ale stále to merali dalej, lepšie a lepšie

109
00:05:01,830 --> 00:05:05,200
A postupne ako merali,

110
00:05:05,200 --> 00:05:07,300
vychádzalo im stále presnejšie a presnejšie číslo.

111
00:05:07,300 --> 00:05:10,850
Číslo 3,14159

112
00:05:10,850 --> 00:05:12,550
a stále im len rástol počet číslic, ktoré sa nikdy

113
00:05:12,550 --> 00:05:13,620
neopakovali.

114
00:05:13,620 --> 00:05:16,640
Bolo to zvláštne a fascinujúce číslo,

115
00:05:16,640 --> 00:05:18,300
ktoré sa potom vyskytovalo aj inde.

116
00:05:18,300 --> 00:05:20,940
Toto číslo je jedno z najzákladnejších čísel nášho vesmíru

117
00:05:20,940 --> 00:05:23,500
a keďže aj kruh je najzákladnejším úvtarom nášho vesmíru,

118
00:05:23,500 --> 00:05:26,680
nieje prekvapujúce, že sa v ňom objavilo.

119
00:05:26,680 --> 00:05:28,865
Pomerom obvodu ku priemeru je toto magické číslo,

120
00:05:28,865 --> 00:05:32,390
ktoré aj ľudia pomenovali.

121
00:05:32,390 --> 00:05:37,580
Pomenovali ho Pi a značí sa Latinským

122
00:05:37,580 --> 00:05:41,880
alebo Gréckym písmenom takto.

123
00:05:41,880 --> 00:05:45,090
Reprezentuje to číslo, ktoré je hádam

124
00:05:45,090 --> 00:05:46,790
najfascinujúcejším číslom vo vesmíre.

125
00:05:46,790 --> 00:05:50,430
Najprv sa ukáže ako pomer obvodu kruhu ku jeho polomeru,

126
00:05:50,430 --> 00:05:54,070
no dalej v matematike,

127
00:05:54,070 --> 00:05:57,160
sa ešte veľakrát ukáže.

128
00:05:57,160 --> 00:05:59,500
Práve takéto číslo ukazuje,

129
00:05:59,500 --> 00:06:03,060
aký pekný poriadok vo vesmíre je.

130
00:06:03,060 --> 00:06:07,750
Ale ako ho vieme použiť

131
00:06:07,750 --> 00:06:09,330
v základnej matematike?

132
00:06:09,330 --> 00:06:12,490
Vieme, (alebo vlastne vám hovorím) že pomer

133
00:06:12,490 --> 00:06:19,420
obvodu ku priemeru (keď hovorím pomer,

134
00:06:19,420 --> 00:06:21,390
doslova myslím, že len podelíte obvod priemerom)

135
00:06:21,390 --> 00:06:28,400
dostanete číslo Pi.

136
00:06:28,400 --> 00:06:29,500
Pi je jednoducho toto číslo.

137
00:06:29,500 --> 00:06:33,570
Mohol by som napísať 3,14159 a ísť dalej a ďalej,

138
00:06:33,570 --> 00:06:35,950
no to by bola strata času a bolo by ťažké

139
00:06:35,950 --> 00:06:38,570
s ním pracovať, preto sa jednoducho píše ako

140
00:06:38,570 --> 00:06:40,330
Grécke písmeno Pi.

141
00:06:40,330 --> 00:06:41,850
A ako to použijeme?

142
00:06:41,850 --> 00:06:44,920
Môžeme obe strany rovnice prenásobiť priemerom

143
00:06:44,920 --> 00:06:48,640
a vidíme, že obvod kruhu sa rovná

144
00:06:48,640 --> 00:06:50,820
Pi krát priemer.

145
00:06:50,820 --> 00:06:55,570
A keďže vieme, že priemer je dvakrát polomer,

146
00:06:55,570 --> 00:06:59,420
vieme povedať, že obvod sa rovná

147
00:06:59,420 --> 00:07:00,360
2 krat Pi krat polomer.

148
00:07:00,360 --> 00:07:03,450
Forma v akej to budete často vidieť, je

149
00:07:03,450 --> 00:07:07,360
2 Pi r.

150
00:07:07,360 --> 00:07:11,220
Tak sa poďme pozrieť, ako to bude fungovať.

151
00:07:11,220 --> 00:07:17,240
Povedzme, že máme kruh

152
00:07:17,240 --> 00:07:22,600
s polomerom 3.

153
00:07:22,600 --> 00:07:28,820
Najprv to napíšem.

154
00:07:28,820 --> 00:07:32,310
Može to byť napríklad 3 metre.

155
00:07:32,310 --> 00:07:34,660
Aký je obvod nášho kruhu?

156
00:07:34,660 --> 00:07:38,180
Obvod je 2 krát Pi krát polomer.

157
00:07:38,180 --> 00:07:42,090
Takže to bude 2 krát Pi krát polomer, čo je

158
00:07:42,090 --> 00:07:47,280
3 krát 2 krát Pi

159
00:07:47,280 --> 00:07:49,520
alebo 6 krat Pi.

160
00:07:49,520 --> 00:07:52,430
6 Pi metrov.

161
00:07:52,430 --> 00:07:53,740
A aj to možem stále násobiť.

162
00:07:53,740 --> 00:07:55,900
Treba si pamätať, že Pi je len číslo.

163
00:07:55,900 --> 00:07:59,680
Pi je 3,141259 a veľa ďalších cifier.

164
00:07:59,680 --> 00:08:03,460
A keď ním vynásobím 6, dostanem 18 celých

165
00:08:03,460 --> 00:08:05,600
niečo niečo niečo.

166
00:08:05,600 --> 00:08:07,850
Ak máte kalkulačku, môžete to prenásobiť,

167
00:08:07,850 --> 00:08:10,490
no aby to bolo jednoduché, ľudia to radšej

168
00:08:10,490 --> 00:08:12,120
nechajú vo forme Pi.

169
00:08:12,120 --> 00:08:14,020
Neviem presne čo to bude keď sa to vynásobí,

170
00:08:14,020 --> 00:08:18,510
no bude to blízko 19.

171
00:08:18,510 --> 00:08:20,910
18 celých niečo

172
00:08:20,910 --> 00:08:21,720
niečo niečo.

173
00:08:21,720 --> 00:08:23,450
Nemám pri sebe kalkulačku.

174
00:08:23,450 --> 00:08:25,300
Namiesto takého čisla, píšeme radšej

175
00:08:25,300 --> 00:08:27,060
iba 6 Pi.

176
00:08:27,060 --> 00:08:29,770
Nezdá sa mi, že by to bolo

177
00:08:29,770 --> 00:08:31,430
viac ako 19.

178
00:08:31,430 --> 00:08:33,770
Teraz sa pýtam jedno.

179
00:08:33,770 --> 00:08:35,270
Čo je priemer nášho kruhu?

180
00:08:38,580 --> 00:08:42,690
No, ak je polomer 3, tak priemer bude dvakrát toľko.

181
00:08:42,690 --> 00:08:45,730
Takže to bude 2 krát 3.

182
00:08:45,730 --> 00:08:47,170
Teda 6.

183
00:08:47,170 --> 00:08:50,750
Takže obvod je 6 Pi metrov, priemer je 6 metrov

184
00:08:50,750 --> 00:08:53,620
a polomer sú 3 metre.

185
00:08:53,620 --> 00:08:55,110
Skúsme to teraz opačne.

186
00:08:55,110 --> 00:08:57,310
Povedzme, že máme nový kruh.

187
00:08:57,310 --> 00:09:01,220
Takýto kruh.

188
00:09:01,220 --> 00:09:04,620
A povedzme, že jeho obvod je 10 metrov.

189
00:09:04,620 --> 00:09:08,560
Tu je náš obvod.

190
00:09:08,560 --> 00:09:10,990
Takže ak poznáme obvod,

191
00:09:10,990 --> 00:09:18,370
ako zistíme priemer?

192
00:09:18,370 --> 00:09:22,810
Vieme, že priemer je Pi krát priemer

193
00:09:22,810 --> 00:09:26,830
sa rovná obvodu.

194
00:09:26,830 --> 00:09:28,700
Sa rovná 10 metrov.

195
00:09:28,700 --> 00:09:31,020
Takže stačí podeliť obe strany rovnice

196
00:09:31,020 --> 00:09:32,520
číslom Pi.

197
00:09:32,520 --> 00:09:35,860
Teda vidíme, že priemer je

198
00:09:35,860 --> 00:09:38,710
10 lomeno Pi.

199
00:09:38,710 --> 00:09:40,020
A to je tiež len číslo.

200
00:09:40,020 --> 00:09:42,540
Stále môžeme použit kalkulačku a podeliť 10 / Pi.

201
00:09:42,540 --> 00:09:46,030
Výsledok bude 3 celých niečo

202
00:09:46,030 --> 00:09:47,500
niečo niečo metrov.

203
00:09:47,500 --> 00:09:48,960
Z hlavy sa to nedá,

204
00:09:48,960 --> 00:09:50,070
no je to len číslo,

205
00:09:50,070 --> 00:09:53,320
ktoré pre jednoduchosť nechávame tak.

206
00:09:53,320 --> 00:09:55,270
A čo je náš polomer?

207
00:09:55,270 --> 00:09:58,590
Polomer je polovica priemeru.

208
00:09:58,590 --> 00:10:02,870
Vlastne celá táto vzdialenosť, je 10/Pi metrov.

209
00:10:02,870 --> 00:10:06,230
Ak chceme iba polovicu toho,

210
00:10:06,230 --> 00:10:07,580
treba to prenásobiť polovicou.

211
00:10:07,580 --> 00:10:13,160
Máme 1/2 krát 10/Pi.

212
00:10:13,160 --> 00:10:16,770
Môžeme podeliť menovateľa a čitateľa

213
00:10:16,770 --> 00:10:18,140
dvojkou

214
00:10:18,140 --> 00:10:21,130
Zostane nám 5/Pi.

215
00:10:21,130 --> 00:10:23,890
Takže polomer je 5/Pi

216
00:10:23,890 --> 00:10:25,690
Nič extra špeciálne.

217
00:10:25,690 --> 00:10:29,760
Treba si len uvedomiť,

218
00:10:29,760 --> 00:10:31,820
že Pi je len číslo.

219
00:10:31,820 --> 00:10:38,640
Je to len 3,14159 s kopcom desatinných miest.

220
00:10:38,640 --> 00:10:41,950
Existujú tisícky kníh o čísle Pi.

221
00:10:41,950 --> 00:10:45,100
Dobre, možno trošku preháňam,

222
00:10:45,100 --> 00:10:48,340
no kníh by sa dalo písať mnoho.

223
00:10:48,340 --> 00:10:49,340
Je to len číslo.

224
00:10:49,340 --> 00:10:52,480
A ak sa vám nepáči ho písať ako Pi

225
00:10:52,480 --> 00:10:54,390
vždy ho môžete vynásobiť

226
00:10:54,390 --> 00:10:55,680
a písať číslami.

227
00:10:55,680 --> 00:10:58,530
Väčšina ľudí ho ale uprednostnuje ako Pi.

228
00:10:58,530 --> 00:11:00,640
Bez číslic.

229
00:11:00,640 --> 00:11:01,680
Tu to asi necháme už tak.

230
00:11:01,680 --> 00:11:05,090
V nasledujúcom videu budeme počítať plochu kruhu.