1
00:00:05,004 --> 00:00:06,003
По всей видимости,

2
00:00:06,003 --> 00:00:08,086
круг – главная геометрическая фигура

3
00:00:08,086 --> 00:00:10,006
в нашей Вселенной.

4
00:00:10,006 --> 00:00:12,096
Достаточно посмотреть на форму орбит планет

5
00:00:12,096 --> 00:00:14,039
или на колесо, или на то,

6
00:00:14,039 --> 00:00:17,003
что можно увидеть на молекулярном уровне.

7
00:00:17,003 --> 00:00:21,000
Круг будет встречаться повсюду снова и снова.

8
00:00:21,000 --> 00:00:22,096
Поэтому, думаю, нам стоит

9
00:00:22,096 --> 00:00:24,000
поговорить о его свойствах.

10
00:00:24,000 --> 00:00:26,006
Во-первых, когда люди открыли для себя круг

11
00:00:26,006 --> 00:00:29,009
(для этого достаточно было посмотреть на луну),

12
00:00:29,009 --> 00:00:30,008
они подумали:

13
00:00:30,008 --> 00:00:34,001
«Каковы же свойства любого круга?».

14
00:00:34,001 --> 00:00:36,006
Прежде всего, они, возможно, сказали себе,

15
00:00:36,006 --> 00:00:38,006
что круг – это все точки,

16
00:00:38,006 --> 00:00:41,007
одинаково удаленные от центра.

17
00:00:41,007 --> 00:00:43,003
Все эти точки по периметру

18
00:00:43,003 --> 00:00:45,006
одинаково удалены от центра,

19
00:00:45,006 --> 00:00:48,003
который находится вот здесь.

20
00:00:48,003 --> 00:00:50,005
Следующее, что интересно узнать, -

21
00:00:50,005 --> 00:00:53,003
это чему равно это расстояние,

22
00:00:53,003 --> 00:00:54,008
одинаковое для всех точек,

23
00:00:54,008 --> 00:00:57,001
на которое они удалены от центра?

24
00:00:57,001 --> 00:01:01,005
Вот оно. Мы называем его радиусом.

25
00:01:01,005 --> 00:01:05,006
Это просто расстояние от центра до краев круга.

26
00:01:05,006 --> 00:01:09,002
Если этот радиус равен 3 см,

27
00:01:09,002 --> 00:01:12,003
то этот радиус тоже будет равен 3 см.

28
00:01:12,003 --> 00:01:14,050
И этот будет равен 3 см.

29
00:01:14,050 --> 00:01:17,001
Его длина никогда не меняется.

30
00:01:17,001 --> 00:01:19,008
По определению, круг – это все точки,

31
00:01:19,008 --> 00:01:22,073
удаленные от центра на одинаковое расстояние,

32
00:01:22,073 --> 00:01:26,002
и это расстояние называется радиусом.

33
00:01:26,002 --> 00:01:28,005
Следующий вопрос, который нас интересует, -

34
00:01:28,005 --> 00:01:32,007
это толщина круга. Насколько он широкий

35
00:01:32,007 --> 00:01:35,004
в своем самом широком месте?

36
00:01:35,004 --> 00:01:37,004
Если бы мы просто разрезали его

37
00:01:37,004 --> 00:01:38,005
в самом широком месте,

38
00:01:38,005 --> 00:01:41,008
чему бы равнялось это расстояние?

39
00:01:41,008 --> 00:01:42,033
Вместо этого места,

40
00:01:42,033 --> 00:01:44,040
я мог бы выбрать, например, это.

41
00:01:44,040 --> 00:01:46,004
Но я бы не стал резать его здесь потому,

42
00:01:46,004 --> 00:01:48,007
что это не самая широкая его часть.

43
00:01:48,007 --> 00:01:50,009
Есть много способов резать круг

44
00:01:50,009 --> 00:01:52,005
в самом широком месте.

45
00:01:52,005 --> 00:01:54,002
Мы только что определили радиус,

46
00:01:54,002 --> 00:01:56,004
и теперь мы видим, что самая широкая

47
00:01:56,004 --> 00:01:58,004
часть круга проходит через его центр

48
00:01:58,004 --> 00:02:01,002
и продолжается дальше, т.е. это два радиуса.

49
00:02:01,002 --> 00:02:03,086
Вот у нас есть один радиус и второй радиус.

50
00:02:03,086 --> 00:02:05,006
Расстояние между двумя точками

51
00:02:05,006 --> 00:02:07,005
в самой широкой части круга

52
00:02:07,005 --> 00:02:10,006
называется диаметром.

53
00:02:10,006 --> 00:02:13,000
Значит, это диаметр круга.

54
00:02:13,000 --> 00:02:16,001
У него очень простое отношение к радиусу:

55
00:02:16,001 --> 00:02:22,001
диаметр равен радиусу, умноженному на два.

56
00:02:22,001 --> 00:02:24,007
Теперь, следующий интересный момент,

57
00:02:24,007 --> 00:02:26,008
о котором следует подумать, –

58
00:02:26,008 --> 00:02:31,002
чему равно расстояние по границе круга?

59
00:02:31,002 --> 00:02:33,003
То есть, если бы вы взяли рулетку

60
00:02:33,003 --> 00:02:36,009
и измерили ею вокруг круга вот так,

61
00:02:36,009 --> 00:02:40,000
чему бы было равно это расстояние?

62
00:02:40,000 --> 00:02:47,008
Это называется длиной окружности круга.

63
00:02:47,008 --> 00:02:50,006
Мы уже знаем, как соотносится диаметр с радиусом,

64
00:02:50,006 --> 00:02:52,008
но как относится длина окружности,

65
00:02:52,008 --> 00:02:55,006
например, с диаметром?

66
00:02:55,006 --> 00:02:57,006
Если вы еще не привыкли к диаметру,

67
00:02:57,006 --> 00:02:58,008
мы можем вычислить то,

68
00:02:58,008 --> 00:03:00,009
как она относится к радиусу.

69
00:03:00,009 --> 00:03:04,000
Много тысяч лет назад люди брали мерные ленты

70
00:03:04,000 --> 00:03:07,007
и измеряли ими длину окружности и радиусы.

71
00:03:07,007 --> 00:03:10,000
Допустим, у них были плохие мерные ленты,

72
00:03:10,000 --> 00:03:12,002
они измерили длину окружности круга

73
00:03:12,002 --> 00:03:14,002
и получили приблизительно 3.

74
00:03:14,002 --> 00:03:17,072
Дальше они измерили радиус круга вот здесь

75
00:03:17,072 --> 00:03:20,009
или диаметр и решили, что, судя по всему,

76
00:03:20,009 --> 00:03:22,006
диаметр равен 1.

77
00:03:22,008 --> 00:03:26,004
Давайте я это запишу.

78
00:03:26,004 --> 00:03:29,007
Давайте не так. Нас волнует отношение.

79
00:03:29,007 --> 00:03:30,025
Давайте я запишу:

80
00:03:30,025 --> 00:03:36,006
«соотношение длины окружности с диаметром».

81
00:03:36,043 --> 00:03:39,075
Допустим, у людей был вот этот круг,

82
00:03:39,075 --> 00:03:43,025
и, измерив его окружность не слишком хорошей мерной лентой,

83
00:03:43,025 --> 00:03:45,052
они сказали, что это расстояние равно

84
00:03:45,052 --> 00:03:49,001
приблизительно 3 метрам.

85
00:03:49,001 --> 00:03:51,010
Если я измерю диаметр круга, я увижу,

86
00:03:51,010 --> 00:03:54,028
что он равен приблизительно 1.

87
00:03:54,028 --> 00:03:55,081
Это интересно. Возможно,

88
00:03:55,081 --> 00:03:58,075
отношение длины окружности к диаметру – 3:1?

89
00:03:58,075 --> 00:04:00,025
Т.е., возможно, длина окружности

90
00:04:00,025 --> 00:04:02,052
всегда в три раза больше диаметра?

91
00:04:02,052 --> 00:04:04,085
Это люди измеряли для одного круга,

92
00:04:04,085 --> 00:04:06,071
теперь, допустим, у них был другой круг.

93
00:04:06,071 --> 00:04:08,068
Вот такой. Я его нарисовал поменьше.

94
00:04:08,068 --> 00:04:12,009
Допустим, люди измеряли длину окружности этого круга

95
00:04:12,009 --> 00:04:14,018
(обозначим ее буквой «С») и нашли,

96
00:04:14,018 --> 00:04:17,085
что она примерно равна 6 сантиметров,

97
00:04:17,085 --> 00:04:19,087
помним – тогда были плохие рулетки.

98
00:04:19,087 --> 00:04:21,056
Затем люди определили,

99
00:04:21,056 --> 00:04:25,033
что диаметр равен грубо 2 сантиметрам.

100
00:04:25,033 --> 00:04:27,033
Значит, отношение длины окружности к диаметру

101
00:04:27,033 --> 00:04:30,083
снова примерно 3:1. Возможно, это свойство круга?

102
00:04:30,083 --> 00:04:33,018
Может быть, отношение длины окружности

103
00:04:33,018 --> 00:04:36,056
к диаметру всегда одинаково для любого круга?

104
00:04:36,056 --> 00:04:39,035
Люди решили, что нужно изучать дальше.

105
00:04:39,035 --> 00:04:41,083
Они достали мерные ленты получше.

106
00:04:41,083 --> 00:04:43,083
Когда мерные ленты стали лучше,

107
00:04:43,083 --> 00:04:47,087
люди определили, что диаметр равен точно 1.

108
00:04:47,087 --> 00:04:49,092
Мой диаметр равен ровно 1,

109
00:04:49,092 --> 00:04:51,087
но, когда я измеряю окружность,

110
00:04:51,087 --> 00:04:56,017
получается, что ее длина ближе к 3,1.

111
00:04:56,017 --> 00:04:57,093
То же самое вот здесь.

112
00:04:57,093 --> 00:05:01,060
Люди заметили, что это число ближе к 3,1.

113
00:05:01,060 --> 00:05:04,034
Они стали замерять точнее и точнее и поняли,

114
00:05:04,034 --> 00:05:06,072
что у них получается то же число.

115
00:05:06,072 --> 00:05:12,033
Они замеряли все лучше и лучше и получили 3,14159.

116
00:05:12,033 --> 00:05:16,036
Они продолжали дальше добавлять сюда цифры.

117
00:05:16,036 --> 00:05:18,051
Это было странное сверхъестественное число,

118
00:05:18,051 --> 00:05:21,034
которое появлялось снова и снова.

119
00:05:21,034 --> 00:05:23,084
Это число так важно для нашей Вселенной потому,

120
00:05:23,084 --> 00:05:26,026
что круг в ней является основополагающим,

121
00:05:26,026 --> 00:05:30,000
а это число одинаково для любого круга.

122
00:05:30,000 --> 00:05:31,075
Отношение длины окружности к диаметру

123
00:05:31,075 --> 00:05:34,009
было этим волшебным числом,

124
00:05:34,009 --> 00:05:37,043
которому дали название «число пи».

125
00:05:37,043 --> 00:05:41,017
Или можно написать его греческой буквой π.

126
00:05:41,017 --> 00:05:43,072
Эта буква представляет число π, которое, возможно,

127
00:05:43,072 --> 00:05:47,034
самое поразительное число в нашей Вселенной.

128
00:05:47,034 --> 00:05:48,063
Оно вначале появляется

129
00:05:48,063 --> 00:05:51,083
как отношение длины окружности к диаметру,

130
00:05:51,083 --> 00:05:54,017
но по мере путешествий по стране Математике

131
00:05:54,017 --> 00:05:57,084
вы узнаете, что это число появляется везде.

132
00:05:57,084 --> 00:06:02,025
Это одна из основополагающих вещей во Вселенной,

133
00:06:02,025 --> 00:06:04,083
доказывающих нам, что в ней есть свой порядок.

134
00:06:04,083 --> 00:06:06,056
Хорошо, но как нам использовать это

135
00:06:06,056 --> 00:06:08,043
в элементарной математике?

136
00:06:08,043 --> 00:06:11,000
Мы знаем, вернее я говорю вам,

137
00:06:11,000 --> 00:06:15,016
что отношение длины окружности к диаметру…

138
00:06:15,016 --> 00:06:17,072
когда я говорю «отношение», я имею в виду, что,

139
00:06:17,072 --> 00:06:20,041
если разделить длину окружности на диаметр,

140
00:06:20,041 --> 00:06:23,001
мы получим π.

141
00:06:23,048 --> 00:06:26,026
π – это просто число.

142
00:06:26,026 --> 00:06:30,025
Я мог бы написать 3,14159

143
00:06:30,025 --> 00:06:31,072
и продолжать дальше и дальше,

144
00:06:31,072 --> 00:06:34,001
но это заняло бы слишком много места,

145
00:06:34,001 --> 00:06:35,068
и было бы неудобно в расчетах,

146
00:06:35,068 --> 00:06:39,063
поэтому люди просто пишут греческую букву π здесь.

147
00:06:39,063 --> 00:06:42,010
Как нам вычислить это отношение?

148
00:06:42,010 --> 00:06:44,056
Мы можем перемножить обе части на диаметр,

149
00:06:44,056 --> 00:06:47,034
и мы можем сказать, что длина окружности

150
00:06:47,034 --> 00:06:49,075
равна π, умноженному на диаметр.

151
00:06:49,075 --> 00:06:52,068
Или поскольку диаметр равен радиусу, умноженному на 2,

152
00:06:52,068 --> 00:06:58,080
мы могли бы сказать, что С=π2r.

153
00:06:58,080 --> 00:07:03,056
Или запись, которую вы чаще встретите - 2πr.

154
00:07:03,056 --> 00:07:04,051
Давайте посмотрим,

155
00:07:04,051 --> 00:07:08,053
как это применить к некоторым задачам.

156
00:07:08,053 --> 00:07:13,026
Допустим, у меня есть вот такой круг,

157
00:07:13,026 --> 00:07:18,069
и у него есть радиус. Пусть радиус равен 3.

158
00:07:18,069 --> 00:07:21,043
Давайте я это запишу.

159
00:07:21,043 --> 00:07:24,053
Итак, радиус круга равен 3.

160
00:07:24,053 --> 00:07:28,075
Давайте добавим единицы измерения – пусть будет 3 м.

161
00:07:28,075 --> 00:07:33,018
Чему равна длина окружности этого круга?

162
00:07:33,018 --> 00:07:38,001
Длина окружности - это 2πr,

163
00:07:38,001 --> 00:07:42,056
что равняется 6 метрам, умноженным на π,

164
00:07:42,056 --> 00:07:46,051
или же 6π метров.

165
00:07:46,051 --> 00:07:49,001
Я могу это перемножить.

166
00:07:49,001 --> 00:07:52,041
Помните, что π – это всего лишь число.

167
00:07:52,041 --> 00:07:59,012
π=3,14159, и оно продолжается до бесконечности.

168
00:07:59,012 --> 00:08:01,072
Значит, если я умножу это число на 6,

169
00:08:01,072 --> 00:08:06,034
у меня должно получиться 18 с хвостиком.

170
00:08:06,034 --> 00:08:07,041
Если у вас есть калькулятор,

171
00:08:07,041 --> 00:08:08,080
вы можете это перемножить,

172
00:08:08,080 --> 00:08:12,012
но для удобства люди просто оставляют это в π.

173
00:08:12,012 --> 00:08:17,048
Я не знаю, сколько будет 6 умножить на 3,14159.

174
00:08:17,048 --> 00:08:19,025
Возможно, у вас получится что-то ближе

175
00:08:19,025 --> 00:08:23,080
к 19 или 18 - будет 18 с чем-то.

176
00:08:23,080 --> 00:08:25,051
У меня нет под рукой калькулятора.

177
00:08:25,051 --> 00:08:27,051
Но вместо того, чтобы писать это число,

178
00:08:27,051 --> 00:08:31,051
вы просто пишите здесь 6π.

179
00:08:31,051 --> 00:08:33,092
Теперь давайте ответим на другой вопрос.

180
00:08:33,092 --> 00:08:35,092
Чему равен диаметр круга?

181
00:08:35,092 --> 00:08:37,040
Если радиус равен 3,

182
00:08:37,040 --> 00:08:40,024
диаметр будет в два раза больше него,

183
00:08:40,024 --> 00:08:42,084
т.е. (3 умножить на 2 или 3 плюс 3)

184
00:08:42,084 --> 00:08:45,025
будет равняться 6 метров.

185
00:08:45,025 --> 00:08:47,044
Итак, длина окружности равна 6π,

186
00:08:47,044 --> 00:08:50,092
диаметр равен 6 метров, а радиус – 3 метра.

187
00:08:50,092 --> 00:08:55,018
Теперь давайте пойдем по другому пути.

188
00:08:55,018 --> 00:08:58,040
Допустим, у меня есть такой круг,

189
00:08:58,040 --> 00:09:02,084
и длина его окружности равна 10 метров.

190
00:09:02,084 --> 00:09:05,041
Это длина окружности нашего круга.

191
00:09:05,041 --> 00:09:08,071
Скажем, вы измерили его окружность рулеткой,

192
00:09:08,071 --> 00:09:10,001
и кто-то спросил у вас:

193
00:09:10,001 --> 00:09:13,051
«Чему равен диаметр этого круга?»

194
00:09:13,051 --> 00:09:16,000
Мы знаем, что диаметр, умноженный на π,

195
00:09:16,000 --> 00:09:19,008
или π, умноженное на диаметр, –

196
00:09:19,008 --> 00:09:23,036
это длина окружности. У нас она равна 10 метрам.

197
00:09:23,036 --> 00:09:24,067
Чтобы решить это уравнение,

198
00:09:24,067 --> 00:09:28,016
мы просто разделим обе его части на π.

199
00:09:28,016 --> 00:09:31,060
Диаметр будет равен 10 метрам, разделенным на π,

200
00:09:31,060 --> 00:09:34,025
или 10/π метров.

201
00:09:34,025 --> 00:09:36,034
Это просто число. Если у вас есть калькулятор,

202
00:09:36,034 --> 00:09:40,084
вы могли бы разделить 10 на 3,14159,

203
00:09:40,084 --> 00:09:44,033
и у вас получилось бы 3 с хвостиком метров.

204
00:09:44,033 --> 00:09:47,039
Я не могу разделить это в уме. Но это просто число.

205
00:09:47,039 --> 00:09:49,003
Однако, для удобства мы часто

206
00:09:49,003 --> 00:09:51,084
просто оставляем это в таком виде.

207
00:09:51,084 --> 00:09:53,063
Теперь. Чему равен радиус?

208
00:09:53,063 --> 00:09:55,067
Радиус равен половине диаметра.

209
00:09:55,067 --> 00:09:57,033
Если нам нужно найти радиус,

210
00:09:57,033 --> 00:09:59,060
мы просто умножаем это на ½.

211
00:09:59,060 --> 00:10:04,048
Итак, у вас получается ½ умножить на 10/π,

212
00:10:04,048 --> 00:10:09,063
равняется ½, умноженной на 10

213
00:10:09,063 --> 00:10:12,033
(или вы просто делите числитель и знаменатель

214
00:10:12,033 --> 00:10:18,050
на 2 и получаете 5 здесь), значит, ответ – 5/π.

215
00:10:18,050 --> 00:10:22,017
Т.е. радиус равен 5/π.

216
00:10:22,017 --> 00:10:23,072
Ничего в этом нет сверхсложного.

217
00:10:23,072 --> 00:10:26,060
Я думаю, что людей с толку сбивает непонимание того,

218
00:10:26,060 --> 00:10:28,072
что π – это число.

219
00:10:28,072 --> 00:10:34,048
π – это просто 3,14159 - и продолжается до бесконечности.

220
00:10:34,048 --> 00:10:36,060
Вообще-то, есть тысячи книг о числе π.

221
00:10:36,060 --> 00:10:38,055
Может быть, я преувеличиваю,

222
00:10:38,055 --> 00:10:41,020
но об этом числе можно писать книги.

223
00:10:41,020 --> 00:10:42,056
Это просто число.

224
00:10:42,056 --> 00:10:44,051
Однако это очень необычное число,

225
00:10:44,051 --> 00:10:46,051
и если бы вы хотели записать наш ответ,

226
00:10:46,051 --> 00:10:48,041
используя числа, как вы привыкли это делать,

227
00:10:48,041 --> 00:10:51,034
вам нужно было бы просто это перемножить.

228
00:10:51,034 --> 00:10:52,051
Но в большинстве случаев

229
00:10:52,051 --> 00:10:55,048
люди оставляют ответ с числом π.

230
00:10:55,048 --> 00:10:57,051
Ладно, на этом я заканчиваю.

231
00:10:57,051 --> 99:59:59,000
А в следующем видео мы с вами обсудим площадь круга.