1
00:00:00,780 --> 00:00:04,880
אפשר לומר שעיגול היא אחת הצורות הבסיסיות ביותר

2
00:00:04,880 --> 00:00:08,490
ביקום, בין אם מסתכלים על צורת מסלול ,

3
00:00:08,490 --> 00:00:11,140
הפלנטות, בין אם על גלגלים ובין אם מסתכלים על

4
00:00:11,140 --> 00:00:12,840
דברים ברמה המולקולרית.

5
00:00:12,840 --> 00:00:15,860
המעגל מופיע שוב ושוב

6
00:00:15,860 --> 00:00:17,350
ושוב.

7
00:00:17,350 --> 00:00:21,110
אז כנראה שכדאי לנו להבין חלק

8
00:00:21,110 --> 00:00:23,330
מהמאפיינים של העיגול.

9
00:00:23,330 --> 00:00:26,200
אז הדבר הראשון שאנשים גילו על העיגול,

10
00:00:26,200 --> 00:00:28,960
ואם רק תביטו בירח תראו עיגול,

11
00:00:28,960 --> 00:00:31,570
אבל הדבר הראשון שהם שאלו הוא, מה הם המאפיינים

12
00:00:31,570 --> 00:00:32,910
של כל עיגול?

13
00:00:32,910 --> 00:00:36,150
אז המאפיין הראשון, ניתן ללומר הוא שעיגול

14
00:00:36,150 --> 00:00:38,690
הוא כל הנקודות שנמצאות במרחק שווה

15
00:00:38,690 --> 00:00:40,440
ממרכז העיגול.

16
00:00:40,440 --> 00:00:43,710
כל הנקודות האלה לאורך הגבול, נמצאות מרחק שווה

17
00:00:43,710 --> 00:00:45,210
מהמרכז שנמצא כאן.

18
00:00:45,210 --> 00:00:47,620
אז הדבר הראשון שמישהו ירצה לשאול הוא

19
00:00:47,620 --> 00:00:50,280
מהו המרחק ששווה מכל הקצוות

20
00:00:50,280 --> 00:00:51,770
למרכז?

21
00:00:51,770 --> 00:00:52,950
בדיוק כאן.

22
00:00:52,950 --> 00:00:58,110
קוראים לזה רדיוס העיגול.

23
00:00:58,110 --> 00:01:00,350
זהו המרחק מהמרכז לקצה.

24
00:01:00,350 --> 00:01:02,820
אם הרדיו הזה שווה ל3 סינטימטרים, אז הרדיוס הזה

25
00:01:02,820 --> 00:01:04,490
גם שווה ל3 סנטימטרים.

26
00:01:04,490 --> 00:01:07,170
וגם הרדיוס הזה שווה ל3 סנטימטרים.

27
00:01:07,170 --> 00:01:08,270
זה לעולם לא ישתנה.

28
00:01:08,270 --> 00:01:11,690
עפ"י ההגדרה, מעגל הוא כל הנקודות מרחקן

29
00:01:11,690 --> 00:01:13,400
מהמרכז שווה.

30
00:01:13,400 --> 00:01:17,050
ומרחק זה נקרא רדיוס.

31
00:01:17,050 --> 00:01:19,880
אז הדבר המעניין הבא, שאפשר לשאול הוא:

32
00:01:19,880 --> 00:01:22,040
כמה שמן עיגול?

33
00:01:22,040 --> 00:01:26,360
כמה רחב הוא בנקודות הכי רחבות שלו?

34
00:01:26,360 --> 00:01:28,710
או, אם תרצו פשוט לחתוך אותו בחלק הכי רחב,

35
00:01:28,710 --> 00:01:30,390
מה זה המרחב הזה?

36
00:01:30,390 --> 00:01:32,340
וזה לא חייב להיות רק שם, הייתי יכול

37
00:01:32,340 --> 00:01:35,490
באותה מידה לחתוך את החלק הכי רחב כאן.

38
00:01:35,490 --> 00:01:38,520
אני לא יכולתי לחתוך את זה בסתם מקום כמו זה

39
00:01:38,520 --> 00:01:40,120
מכיוון שזה לא היה בחלק הכי רחב.

40
00:01:40,120 --> 00:01:41,810
יש הרבה מקומות בהם אני יכול לחתוך

41
00:01:41,810 --> 00:01:43,480
את החלק הכי רחב.

42
00:01:43,480 --> 00:01:46,730
עכשיו ראינו את הרדיוס וראינו את החלק הכי רחב

43
00:01:46,730 --> 00:01:49,580
חותך דרך המרכז וממשיך הלאה.

44
00:01:49,580 --> 00:01:52,920
אז הוא למעשה שני רדיוסים.

45
00:01:52,920 --> 00:01:55,640
יש רדיוס אחד כאן ורדיוס נוסף

46
00:01:55,640 --> 00:01:57,240
כאן.

47
00:01:57,240 --> 00:02:01,380
לחלק באזור הרחב ביותר של העיגול

48
00:02:01,380 --> 00:02:03,030
קוראים קוטר.

49
00:02:03,030 --> 00:02:06,390
אז זהו הקוטר של העיגול.

50
00:02:06,390 --> 00:02:09,260
יש לו יחסים מאוד פשוטים עם הרדיוס.

51
00:02:09,260 --> 00:02:16,155
הקוטר שווה לשתיים כפול הרדיוס.

52
00:02:19,060 --> 00:02:21,790
עכשיו, הדבר המעניין הבא שבוודא יעניין

53
00:02:21,790 --> 00:02:24,560
אתכם לגביי העיגול הוא: כמה ארוך האזור מסביב לעיגול?

54
00:02:24,560 --> 00:02:27,340
אז אילו הייתם לוקחים סרט מדידה והייתם

55
00:02:27,340 --> 00:02:35,910
מודדים את האזור מאזור מסביב לעיגול ככה, מה היה המרחק?

56
00:02:35,910 --> 00:02:44,710
לזה אנחנו קוראים היקף העיגול.

57
00:02:44,710 --> 00:02:47,440
עכשיו, אנחנו יודעים מה היחס בין הקוטר והרדיוס, אבל מה

58
00:02:47,440 --> 00:02:49,790
היחס בין ההיקף לבין, נניח, הקוטר?

59
00:02:49,790 --> 00:02:51,550
ואם אתם לא באמת רגילים לקוטר, זה מאוד

60
00:02:51,550 --> 00:02:54,290
קל להבין מה היחס שלו לרדיוס.

61
00:02:54,290 --> 00:02:57,130
ובכן, לפניי אלפי שנים, אנשים לקחו סרטי מדידה

62
00:02:57,130 --> 00:02:58,890
ומדדו את ההיקפים

63
00:02:58,890 --> 00:03:00,430
ואת הרדיוסים.

64
00:03:00,430 --> 00:03:03,280
בואו נניח שסרטי המדידה שלהם לא היו מאוד טובים,

65
00:03:03,280 --> 00:03:05,010
בואו נגיד שהם מדדו את היקף העיגול

66
00:03:05,010 --> 00:03:07,960
והיה יוצא להם, בערך 3.

67
00:03:07,960 --> 00:03:11,600
ואז הם מדדו את רדיוס העיגול הזה

68
00:03:11,600 --> 00:03:14,280
או הקוטר של העיגול הזה, ואז הם היו אומרים " הקוטר

69
00:03:14,280 --> 00:03:16,290
נראה בערך כמו 1".

70
00:03:16,290 --> 00:03:17,740
אז הם היו אומרים - אני ארשום את זה.

71
00:03:17,740 --> 00:03:21,750
אז מה שמעניין אותנו הוא היחס -אני

72
00:03:21,750 --> 00:03:22,660
ארשום את זה כאן.

73
00:03:22,660 --> 00:03:33,955
היחס בין ההיקף לקוטר.

74
00:03:37,560 --> 00:03:40,900
אז בואו נאמר שלמישהו יש עיגול כאן.

75
00:03:40,900 --> 00:03:43,170
בואו נאמר שיש להם את העיגול הזה, ובפעם הראשונה

76
00:03:43,170 --> 00:03:45,880
סרט המדידה לא היה כל כך טוב. הם מדדו סביב העיגול

77
00:03:45,880 --> 00:03:49,340
והם אמרו "זה יוצא בערך 3 מטר"

78
00:03:49,340 --> 00:03:50,490
כשמקיפים את העיגול.

79
00:03:50,490 --> 00:03:52,800
וכשאני מודד את קוטר העיגול,

80
00:03:52,800 --> 00:03:55,050
יוצא בערך מטר אחד.

81
00:03:55,050 --> 00:03:56,000
אוקיי, זה מעניין.

82
00:03:56,000 --> 00:03:57,520
אולי היחס של ההיקף

83
00:03:57,520 --> 00:03:58,500
לקוטר שווה ל-3.

84
00:03:58,500 --> 00:04:00,820
אז אולי ההיקף הוא תמיד 3

85
00:04:00,820 --> 00:04:02,020
כפול הקוטר.

86
00:04:02,020 --> 00:04:03,610
אז זה היה רק לעיגול, אך בואו נניח שהם

87
00:04:03,610 --> 00:04:05,720
מדדו עיגול אחר כאן.

88
00:04:05,720 --> 00:04:07,870
הוא ככה - ציירתי אותו קטן יותר.

89
00:04:07,870 --> 00:04:11,200
בואו נאמר שעל העיגול הזה, מדדו את סביבו

90
00:04:11,200 --> 00:04:14,960
והם גילו שההיקף הוא 6 סנטימטרים,

91
00:04:14,960 --> 00:04:18,210
בערך - יש לנו סרט מדידה גרוע אז.

92
00:04:18,210 --> 00:04:21,710
אז הם גילו שהקוטר הוא

93
00:04:21,710 --> 00:04:23,520
בערך 2 סנטימטרים.

94
00:04:23,520 --> 00:04:25,490
ושוב, היחס בין ההיקף לבין ה

95
00:04:25,490 --> 00:04:30,230
קוטר היה בערך 3.

96
00:04:30,230 --> 00:04:32,140
אוקיי, זו תכונה מעניינת של עיגולים.

97
00:04:32,140 --> 00:04:35,430
אולי היחס בין ההיקף לבין הקוטר

98
00:04:35,430 --> 00:04:38,080
הוא קבוע לכל עיגול.

99
00:04:38,080 --> 00:04:40,260
אז הם אמרו, בואו נחקו את זה יותר לעומק.

100
00:04:40,260 --> 00:04:42,510
אז הם לקחו סרטי מדידה מדוייקים יותר.

101
00:04:42,510 --> 00:04:45,090
כשהם לקחו סרטי מדידה טובים יותר, הם מדדו ואמרו "היי

102
00:04:45,090 --> 00:04:47,630
הקטור שלי בהחלט 1."

103
00:04:47,630 --> 00:04:49,430
הם אמרו "הקוטר שלי בהחלט 1", אבל כשהם

104
00:04:49,430 --> 00:04:51,810
מדדו את ההיקף קצת,הם אמרו: "אני מבין

105
00:04:51,810 --> 00:04:53,040
שהוא קרוב יותר ל3.1"

106
00:04:56,000 --> 00:04:57,290
ואותו הדבר עם זה שכאן.

107
00:04:57,290 --> 00:04:59,370
הם הבחינו שהיחס קרוב יותר ל3.1 .

108
00:04:59,370 --> 00:05:01,830
אז הם המשיכו למדוד את זה טוב יותר ויותר,

109
00:05:01,830 --> 00:05:05,200
עד שהם הבינו שהם מגיעים למספר הזה,

110
00:05:05,200 --> 00:05:07,300
הם המשיכו למדוד טוב יותר ויותר והם

111
00:05:07,300 --> 00:05:10,850
הגיעו למספר הזה: 3.13159 .

112
00:05:10,850 --> 00:05:12,550
והם פשוט הוסיפו ספרות והן

113
00:05:12,550 --> 00:05:13,620
לעולם לא חזרו על עצמן.

114
00:05:13,620 --> 00:05:16,640
זה היה מספר מוזר, מרתק

115
00:05:16,640 --> 00:05:18,300
שכל הזמן הופיע.

116
00:05:18,300 --> 00:05:20,940
אז מכיוון שהסמפר הוא כל כך בסיסי ביקום,

117
00:05:20,940 --> 00:05:23,500
מכיוון שהעיגול הוא כל כך בסיסי בייקום,

118
00:05:23,500 --> 00:05:26,680
והוא פשוט הופיע בכל עיגול,

119
00:05:26,680 --> 00:05:28,865
היחס בין ההיקף לבין הקוטר היה

120
00:05:28,865 --> 00:05:32,390
מן מספר קסום, נתנו לו שם.

121
00:05:32,390 --> 00:05:37,580
קראו לו "פי", או שקוראים לו ככה, או

122
00:05:37,580 --> 00:05:41,880
שמשתמשים באות היוונית pi.

123
00:05:41,880 --> 00:05:45,090
זה מייצג את המספר, שרבים טוענים שהוא

124
00:05:45,090 --> 00:05:46,790
המספר הכי מרתק בייקום.

125
00:05:46,790 --> 00:05:50,430
הוא הופיע תחילה כהיחס בין ההיקף לבין

126
00:05:50,430 --> 00:05:54,070
הקוטר, אבל תלמדו ככל שתתקדמו

127
00:05:54,070 --> 00:05:57,160
במסע המתימטי שלכם, שהוא מופיע בכל מקום.

128
00:05:57,160 --> 00:05:59,500
זהו אחד הדברים הבסיסים ביקום

129
00:05:59,500 --> 00:06:03,060
שפשוט גורמים לכם לחשוב שיש שם סדר.

130
00:06:03,060 --> 00:06:07,750
בכל מקרה, איך נוכל להשתמש בזה

131
00:06:07,750 --> 00:06:09,330
במתימטיקה בסיסית?

132
00:06:09,330 --> 00:06:12,490
אז אנחנו יודעים, או אני אומר לכם, שהיחס

133
00:06:12,490 --> 00:06:19,420
בין ההיקף לבין הקוטר - כשאני אומר יחס,

134
00:06:19,420 --> 00:06:21,390
מילולית, אני מתכוון לומר שאם תחלק את ההיקף

135
00:06:21,390 --> 00:06:28,400
בקוטר, תקבלו פי.

136
00:06:28,400 --> 00:06:29,500
פי הוא סתם מספר.

137
00:06:29,500 --> 00:06:33,570
אני יכול לרשום 3/14159 ופשוט להמשיך הלאה והלאה,

138
00:06:33,570 --> 00:06:35,950
אך זה יהיה בזבוז של זמן ויהיה קשה

139
00:06:35,950 --> 00:06:38,570
להתמודד איתו. אז אנשים פשוט כתבו

140
00:06:38,570 --> 00:06:40,330
את האות היוונית פי.

141
00:06:40,330 --> 00:06:41,850
אז - איך נוכל להתייחס לזה?

142
00:06:41,850 --> 00:06:44,920
נוכל לכפול את שתי האגפים בקוטר

143
00:06:44,920 --> 00:06:48,640
ונוכל לומר שההיקף שווה לפי

144
00:06:48,640 --> 00:06:50,820
כפול הקוטר.

145
00:06:50,820 --> 00:06:55,570
או, מכיוון שהקוטר שווה ל2- כפול הרדיוס, נוכל לאמר

146
00:06:55,570 --> 00:06:59,420
שההיקף שווה לפי כפול פעמיים

147
00:06:59,420 --> 00:07:00,360
הרדיוס.

148
00:07:00,360 --> 00:07:03,450
או בצורה שהכי סביר שתתקלו בה,

149
00:07:03,450 --> 00:07:07,360
היא שווה ל2πr .

150
00:07:07,360 --> 00:07:11,220
אז בואו נגיד שנוכל להשתמש בזה לכמה בעיות.

151
00:07:11,220 --> 00:07:17,240
בואו נגיד שיש לי עיגול ככה, ואני אומר לכם

152
00:07:17,240 --> 00:07:22,600
שיש לו רדיוס - הרדיוס הזה הוא 3.

153
00:07:22,600 --> 00:07:28,820
אז, 3 - תנו לי לרשום את זה - אז הרדיוס שווה ל-3.

154
00:07:28,820 --> 00:07:32,310
אולי זה 3 מטרים - נשים כאן יחידות.

155
00:07:32,310 --> 00:07:34,660
מהו היקף העיגול?

156
00:07:34,660 --> 00:07:38,180
ההיקף שווה ל2 כפול פי כפול הרדיוס.

157
00:07:38,180 --> 00:07:42,090
אז זה יהיה שווה ל-2 כפול פי כפול הרדיוס,

158
00:07:42,090 --> 00:07:47,280
כפול 3 מטרים, שזה שווה ל6 מטרים כפול

159
00:07:47,280 --> 00:07:49,520
פי או 6פי מטרים.

160
00:07:49,520 --> 00:07:52,430
6 פי מטרים.

161
00:07:52,430 --> 00:07:53,740
אני יכל להכפיל את זה.

162
00:07:53,740 --> 00:07:55,900
זכרו שפי הוא סך הכל מספר.

163
00:07:55,900 --> 00:07:59,680
פי הוא 3.14159 שממשיך הלאה והלאה.

164
00:07:59,680 --> 00:08:03,460
אז אם אכפיל 6 כפול המספר, אולי אקבל 18

165
00:08:03,460 --> 00:08:05,600
משהו משהו משהו.

166
00:08:05,600 --> 00:08:07,850
אם יש לכם מחשבון, אולי תרצו לעשות זאת, אבל

167
00:08:07,850 --> 00:08:10,490
בשביל להשאיר את זה פשוט, אנשים נוטים לרשום

168
00:08:10,490 --> 00:08:12,120
את זה פי.

169
00:08:12,120 --> 00:08:14,020
אני לא יודע מה יוצא אם מכפילים 6

170
00:08:14,020 --> 00:08:18,510
ב3.14159. אני ל איודע אם יוצא משהו קרוב ל19 או

171
00:08:18,510 --> 00:08:20,910
18, אולי זה בערך 18 נקודה משהו.

172
00:08:20,910 --> 00:08:21,720
משהו משהו.

173
00:08:21,720 --> 00:08:23,450
אין לי את המחשבון שלי לפניי.

174
00:08:23,450 --> 00:08:25,300
אבל במקום לרשום את המספר הזה, פשוט

175
00:08:25,300 --> 00:08:27,060
רושמים 6 פי.

176
00:08:27,060 --> 00:08:29,770
האמת, אני לא חושב שזה יחצה את

177
00:08:29,770 --> 00:08:31,430
המספר 19.

178
00:08:31,430 --> 00:08:33,770
עכשיו בואו נשאר שאלה אחרת.

179
00:08:33,770 --> 00:08:35,270
מהו הקוטר של המעגל?

180
00:08:38,580 --> 00:08:42,690
ובכן, אם הרדיוס הוא 3, הקוטר הוא פעמיים אותו רדיוס.

181
00:08:42,690 --> 00:08:45,730
אז זה שווה ל3 כפול 2 או 2 פלוס 3,

182
00:08:45,730 --> 00:08:47,170
ששווה ל6 מטרים.

183
00:08:47,170 --> 00:08:50,750
אז אם ההיקף הוא 6 פי מטרים, הקוטר הוא 6

184
00:08:50,750 --> 00:08:53,620
מטרים, הרדיוס הוא 3 מטרים.

185
00:08:53,620 --> 00:08:55,110
עכשיו בואו ננסה בדרך השניה.

186
00:08:55,110 --> 00:08:57,310
בואו נאמר שיש לי עיגול.

187
00:08:57,310 --> 00:09:01,220
ובואו נאמר שיש לי עוד עיגול כאן.

188
00:09:01,220 --> 00:09:04,620
ואני אומר לכם שההיקפים שלהם שווים

189
00:09:04,620 --> 00:09:08,560
ל10 מטרים - זה ההיקף של המעגל.

190
00:09:08,560 --> 00:09:10,990
אם תשימו סרט מדידה סביבו

191
00:09:10,990 --> 00:09:18,370
והיו שואלים אתכם "מהו היקף העיגול?"

192
00:09:18,370 --> 00:09:22,810
ובכן, אנחנו יודעים שהקוטר כפולפי - אנחנו יודעים שפי כפול

193
00:09:22,810 --> 00:09:26,830
הקוטר שווה לקוטר,

194
00:09:26,830 --> 00:09:28,700
שהוא שווה ל-10 מטרים.

195
00:09:28,700 --> 00:09:31,020
אז על מנת לפתור את זה כל מה שצריך לעשות זה לחלק את שני הצדדים

196
00:09:31,020 --> 00:09:32,520
של המשוואה בפי.

197
00:09:32,520 --> 00:09:35,860
הקוטר שווה ל10 מטרים חלקי פי או

198
00:09:35,860 --> 00:09:38,710
10 חלקי פי מטרים.

199
00:09:38,710 --> 00:09:40,020
וזה הוא רק מספר.

200
00:09:40,020 --> 00:09:42,540
אם יש לכם מחשבון, תוכלו לחלק 10

201
00:09:42,540 --> 00:09:46,030
ב3.14159, ותקבלו 3 נקודה משהו

202
00:09:46,030 --> 00:09:47,500
משהו משהו מטרים.

203
00:09:47,500 --> 00:09:48,960
אני לא מסוגל לחשב את זה בראש.

204
00:09:48,960 --> 00:09:50,070
אבל זהו רק מספר.

205
00:09:50,070 --> 00:09:53,320
אבל בשביל הפשטוט, לרוב נשאיר את זה כך.

206
00:09:53,320 --> 00:09:55,270
עכשיו, מהו הרדיוס?

207
00:09:55,270 --> 00:09:58,590
ובכן, הרדיוס שווה לחצי הקוטר.

208
00:09:58,590 --> 00:10:02,870
אז כל המרחק הזה הוא 10 חלקי פי מטרים.

209
00:10:02,870 --> 00:10:06,230
אם ניקח חצי מזה, אם נרצה לגלות את הרדיוס,

210
00:10:06,230 --> 00:10:07,580
אנחנו פשוט נכפול ב-½.

211
00:10:07,580 --> 00:10:13,160
אז יש לנו ½ כפול 10 חלקי פי, ששווה ל-½ כפול

212
00:10:13,160 --> 00:10:16,770
10, או אם תחלקו את המונה

213
00:10:16,770 --> 00:10:18,140
במכנה של 2.

214
00:10:18,140 --> 00:10:21,130
תקבלו שם 5, אז תקבלו 5 חלקי פי.

215
00:10:21,130 --> 00:10:23,890
אז הרדיוס הזה שווה ל5 חלקי פי.

216
00:10:23,890 --> 00:10:25,690
אין בזה שום דבר יצירתי במיוחד.

217
00:10:25,690 --> 00:10:29,760
אני חושב שהדבר שמבלבל אנשים לרוב הוא

218
00:10:29,760 --> 00:10:31,820
להבין שפי הוא סה"כ מספר.

219
00:10:31,820 --> 00:10:38,640
פי הוא 3.14159 והוא ממשיך הלאה והלאה.

220
00:10:38,640 --> 00:10:41,950
יש למעשה אלפי ספרטים שנכתוב על פי, ככה

221
00:10:41,950 --> 00:10:45,100
שזה לא -- אני לא בטוח שזה אלפים, אני

222
00:10:45,100 --> 00:10:48,340
מגזים, אבל אפשר לכתוב ספרים על המספר הזה.

223
00:10:48,340 --> 00:10:49,340
אבל זה רק מספר.

224
00:10:49,340 --> 00:10:52,480
זה מספר מאוד מיוחד, ואם תרצו לרשום אותו

225
00:10:52,480 --> 00:10:54,390
בדרך שאנחנו רגילים לכתוב מספרים, תוכלו

226
00:10:54,390 --> 00:10:55,680
פשוט להכפיל את זה.

227
00:10:55,680 --> 00:10:58,530
אבל לרוב אנשים מעדיפים פשוט להשאיר

228
00:10:58,530 --> 00:11:00,640
את זה במושגים של פי.

229
00:11:00,640 --> 00:11:01,680
בכל מקרה, אני אשאיר אתכם כאן.

230
00:11:01,680 --> 00:11:05,090
בסרטון הבא, נבין את שטח העיגול.