WEBVTT

00:00:00.780 --> 00:00:04.880
Kruh je asi nejzákladnějším útvarem
našeho vesmíru,

00:00:04.880 --> 00:00:09.560
když se podíváme na oběžné dráhy planet,

00:00:09.560 --> 00:00:10.710
kola

00:00:10.710 --> 00:00:12.840
anebo věci v molekulární úrovni.

00:00:12.840 --> 00:00:15.860
Kruh se jednoduše stále a stále

00:00:15.860 --> 00:00:17.350
všude objevuje.

00:00:17.350 --> 00:00:21.110
Takže se nám určitě hodí
rozumět některým jeho

00:00:21.110 --> 00:00:23.330
základním vlastnostem.

00:00:23.330 --> 00:00:26.200
Lidi přirozeně zajímaly vlastnosti kruhu,

00:00:26.200 --> 00:00:28.960
stačí, abyste se podívali na Měsíc,
abyste uviděli kruh,

00:00:28.960 --> 00:00:31.600
a určitě někdy nastal moment,
kdy si poprvé někdo řekl:

00:00:31.600 --> 00:00:32.910
Jaké jsou vlastnosti kružnice?

00:00:32.910 --> 00:00:36.150
První věc, které si mohli všimnout,
je, že v kružnici jsou vlastně

00:00:36.150 --> 00:00:38.690
všechny body stejně daleko

00:00:38.690 --> 00:00:40.440
od jednoho bodu.

00:00:40.440 --> 00:00:43.710
Všechny tyto body tady
jsou stejně vzdálené

00:00:43.710 --> 00:00:45.210
od tohoto středu.

00:00:45.210 --> 00:00:47.620
První věc, na kterou se
můžete zeptat, je,

00:00:47.620 --> 00:00:50.280
co je to ta stejná vzdálenost

00:00:50.280 --> 00:00:51.770
od středu?

00:00:51.770 --> 00:00:52.950
Ta přesně tady?

00:00:52.950 --> 00:00:58.110
Nazývá se poloměr.

00:00:58.110 --> 00:01:00.350
Je to vzdálenost od středu po okraj.

00:01:00.350 --> 00:01:02.820
Když je tento poloměr 3 centimetry,
tak i tento poloměr

00:01:02.820 --> 00:01:04.490
bude 3 centimetry.

00:01:04.490 --> 00:01:07.170
I tento poloměr bude 3 centimetry.

00:01:07.170 --> 00:01:08.270
Nikde nebude jiný.

00:01:08.270 --> 00:01:11.690
Kružnice je podle definice
množina bodů, které mají stejnou

00:01:11.690 --> 00:01:13.400
vzdálenost od středu.

00:01:13.400 --> 00:01:17.050
A ta vzdálenost je právě poloměr.

00:01:17.050 --> 00:01:19.880
Druhá zajímavá věc,
kterou mohli lidé chtít vědět, je,

00:01:19.880 --> 00:01:22.040
jak je kruh "tlustý"?

00:01:22.040 --> 00:01:26.360
Kde je nejširší?

00:01:26.360 --> 00:01:28.710
Anebo kdybychom ho
přestřihli na nejširším místě,

00:01:28.710 --> 00:01:30.390
jaká by to byla délka?

00:01:30.390 --> 00:01:32.340
A dokonce to nemusí být jen tady.

00:01:32.340 --> 00:01:35.490
Můžeme kruh přestřihnout
stejně v nejširším místě i tady.

00:01:35.490 --> 00:01:38.520
Jen ho nesmíme přestřihnout
někde jako například zde,

00:01:38.520 --> 00:01:40.120
neboť to by nebylo
přes nejširší místo.

00:01:40.120 --> 00:01:41.810
Je mnoho možností,
jak kruh přestřihnout skrz jeho

00:01:41.810 --> 00:01:43.480
nejširší místo.

00:01:43.480 --> 00:01:46.730
Už jsme viděli poloměr a teď
vidíme, že nejširší část kruhu

00:01:46.730 --> 00:01:49.580
prochází přes střed kruhu.

00:01:49.580 --> 00:01:52.920
Tudíž jsou to vlastně dva poloměry.

00:01:52.920 --> 00:01:55.640
Jeden poloměr máme tady a druhý poloměr

00:01:55.640 --> 00:01:57.240
máme tady.

00:01:57.240 --> 00:02:01.380
Tuto vzdálenost nazýváme

00:02:01.380 --> 00:02:03.030
průměr kruhu.

00:02:03.030 --> 00:02:06.390
Takže toto je průměr kruhu.

00:02:06.390 --> 00:02:09.260
A má jednoduchý vztah s poloměrem.

00:02:09.260 --> 00:02:19.035
Průměr se rovná 2 krát poloměr.

00:02:19.060 --> 00:02:21.790
Další nejzajímavější věc,
která vás může zajímat, je,

00:02:21.790 --> 00:02:24.560
jak je to daleko okolo celého kruhu.

00:02:24.560 --> 00:02:27.340
Kdybyste si vzali metr

00:02:27.340 --> 00:02:35.910
a odměřili byste okraj kruhu,
jaká by to byla délka?

00:02:35.910 --> 00:02:44.710
Nazývá se obvod.

00:02:44.710 --> 00:02:47.440
Už víme, jaký je vztah
mezi poloměrem a průměrem,

00:02:47.440 --> 00:02:49.790
ale jaký je vztah mezi
obvodem a například průměrem?

00:02:49.790 --> 00:02:51.550
A jestliže se vám nelíbí průměr,

00:02:51.550 --> 00:02:54.290
vždy se dá najít vztah s poloměrem.

00:02:54.290 --> 00:02:57.130
Tisíce let zpět lidé vytáhli své metry

00:02:57.130 --> 00:03:00.410
a měřili obvody
a poloměry kružnic.

00:03:00.430 --> 00:03:03.280
A řekněme, že jejich metry
nebyly zrovna nejpřesnější.

00:03:03.280 --> 00:03:05.010
Řekněme, že když změřili obvod,

00:03:05.010 --> 00:03:07.960
vycházel jim přibližně na 3.

00:03:07.960 --> 00:03:11.600
Potom změřili poloměr kružnice,
vlastně průměr,

00:03:11.600 --> 00:03:14.280
a řekli si, že průměr je

00:03:14.280 --> 00:03:16.290
přibližně 1.

00:03:16.290 --> 00:03:17.740
Potom řekli...
Napíšu si to.

00:03:17.740 --> 00:03:21.750
Zajímá nás poměr...

00:03:21.750 --> 00:03:22.660
Napíšu to jinak.

00:03:22.660 --> 00:03:37.565
Poměr obvodu kružnice
ku průměru kružnice.

00:03:37.565 --> 00:03:40.900
Takže řekněme, že někdo měl
takovoutu kružnice.

00:03:40.900 --> 00:03:43.170
Přesně takovou stejnou jako ta naše.

00:03:43.170 --> 00:03:45.880
Změřili obvod kružnice

00:03:45.880 --> 00:03:49.340
a řekli si, že je to přibližně

00:03:49.340 --> 00:03:50.490
3 metry.

00:03:50.490 --> 00:03:52.800
A když změřili průměr kružnice,

00:03:52.800 --> 00:03:55.050
bylo to přibližně 1.

00:03:55.050 --> 00:03:56.000
Dobře, to je zajímavé.

00:03:56.000 --> 00:03:57.520
Možná je poměr obvodu

00:03:57.520 --> 00:03:58.800
ku průměru opravdu 3.

00:03:58.800 --> 00:04:00.820
Možná je obvod kružnice
vždy přesně 3 krát tolik

00:04:00.820 --> 00:04:02.020
jako její průměr.

00:04:02.020 --> 00:04:03.610
To platilo jen pro tuto kružnici,
ale pojďme říci,

00:04:03.610 --> 00:04:05.720
že to zkusili pro jinou.

00:04:05.720 --> 00:04:07.870
Trošku jinou,
nakreslil jsem ji menší.

00:04:07.870 --> 00:04:11.200
Řekněme, že když
změřili obvod kružnice,

00:04:11.200 --> 00:04:14.960
naměřili přibližně 6 centimetrů,

00:04:14.960 --> 00:04:18.210
nepřesně, měli nepřesné pravítko.

00:04:18.210 --> 00:04:21.710
Potom změřili průměr a vyšlo jim

00:04:21.710 --> 00:04:23.520
2 centimetry.

00:04:23.520 --> 00:04:28.260
A zase se jim potvrdilo,
že poměr obvodu ku průměru

00:04:28.260 --> 00:04:30.230
je přibližně 3.

00:04:30.230 --> 00:04:32.140
To je celkem pěkná vlastnost.

00:04:32.140 --> 00:04:35.430
Možná je poměr obvodu ku
průměru ve všech kružnicích

00:04:35.430 --> 00:04:38.080
vždy stejný,
v jakékoli kružnici.

00:04:38.080 --> 00:04:40.260
Ale pokračovali ve výzkumu.

00:04:40.260 --> 00:04:42.510
Našli si přesnější měřící nástroje.

00:04:42.510 --> 00:04:45.090
A když je měli,
měřili ještě jednou a zjistili,

00:04:45.090 --> 00:04:47.630
že průměr je určitě 1.

00:04:47.630 --> 00:04:49.430
Řekli si, že průměr je
určitě přesně 1,

00:04:49.430 --> 00:04:51.810
ale když změřili obvod,

00:04:51.810 --> 00:04:55.960
přiblížil se skoro ke 3,1.

00:04:56.000 --> 00:04:57.290
A stejně to bylo i s poměrem.

00:04:57.290 --> 00:04:59.370
Zjistili, že poměr je blíže k 3,1.

00:04:59.370 --> 00:05:01.830
Ale stále to měřili dále, lépe a lépe.

00:05:01.830 --> 00:05:03.890
A jak postupně měřili,

00:05:03.890 --> 00:05:07.300
vycházelo jim stále
přesnější a přesnější číslo.

00:05:07.300 --> 00:05:10.850
Číslo 3,14159

00:05:10.850 --> 00:05:12.550
a stále jim jen rostl počet číslic,

00:05:12.550 --> 00:05:13.780
které se nikdy neopakovaly.

00:05:13.780 --> 00:05:16.640
Bylo to zvláštní a fascinující číslo,

00:05:16.640 --> 00:05:18.300
které se potom vyskytovalo i jinde.

00:05:18.300 --> 00:05:20.940
Toto číslo je jedno
z nejzákladnějších čísel našeho vesmíru,

00:05:20.940 --> 00:05:23.500
protože kružnice je nejzákladnějším
útvarem našeho vesmíru,

00:05:23.500 --> 00:05:26.680
a objevovalo se pro každou kružnici.

00:05:26.680 --> 00:05:30.095
Poměrem obvodu ku průměru
je toto magické číslo,

00:05:30.095 --> 00:05:32.390
které lidé i pojmenovali.

00:05:32.390 --> 00:05:37.580
Pojmenovali ho pí,
můžete takhle v latince

00:05:37.580 --> 00:05:41.880
anebo řeckým písmenem pí,
takto.

00:05:41.880 --> 00:05:45.090
Reprezentuje to číslo,
které je, hádám,

00:05:45.090 --> 00:05:46.790
nejfascinujícím číslem ve vesmíru.

00:05:46.790 --> 00:05:51.720
Nejdříve se vidíme jako poměr
obvodu kružnice ku jejímu poloměru,

00:05:51.720 --> 00:05:55.710
no jak se nadále naučíte
v matematice,

00:05:55.710 --> 00:05:57.160
se ještě mnohokrát ukáže.

00:05:57.160 --> 00:05:59.500
Právě takové číslo ukazuje,

00:05:59.500 --> 00:06:03.060
že je ve vesmíru nějaký pořádek.

00:06:03.060 --> 00:06:07.190
Ale jak ho můžeme použít

00:06:07.190 --> 00:06:09.330
v základní matematice?

00:06:09.330 --> 00:06:12.490
Víme, anebo vám to vlastně říkám,
že poměr

00:06:12.490 --> 00:06:19.420
obvodu ku průměru...
Když říkám poměr,

00:06:19.420 --> 00:06:21.390
doslova myslím,
že když vydělíte obvod průměrem,

00:06:21.390 --> 00:06:28.400
dostanete číslo pí.

00:06:28.400 --> 00:06:29.700
Pi je jednoduše toto číslo.

00:06:29.710 --> 00:06:33.570
Mohl bych napsat 3,14159
a jít dále a dále,

00:06:33.570 --> 00:06:35.950
ale to by byla ztráta času
a bylo by těžké

00:06:35.950 --> 00:06:38.570
s ním pracovat,
proto se jednoduše píše jako

00:06:38.570 --> 00:06:40.330
řecké písmeno pí.

00:06:40.330 --> 00:06:41.850
A jak to použijeme?

00:06:41.850 --> 00:06:44.920
Můžeme obě strany rovnice
vynásobit průměrem

00:06:44.920 --> 00:06:48.640
a vidíme, že obvod se rovná

00:06:48.640 --> 00:06:50.820
pí krát průměr.

00:06:50.820 --> 00:06:55.570
A když víme, že průměr
je dvakrát poloměr,

00:06:55.570 --> 00:06:59.420
můžeme říci, že obvod se rovná

00:06:59.420 --> 00:07:00.360
pí krát 2 krát poloměr.

00:07:00.360 --> 00:07:05.070
Forma, v jaké to budete často vidět, je

00:07:05.070 --> 00:07:07.360
2 pí r.

00:07:07.360 --> 00:07:11.220
Tak se pojďme podívat,
jak to bude fungovat.

00:07:11.220 --> 00:07:17.240
Řekněme, že máme kružnici,

00:07:17.240 --> 00:07:22.600
a já vám řeknu,
že má poloměr 3.

00:07:22.600 --> 00:07:28.820
Nejdříve to napíšu.
Poloměr rovná se 3.

00:07:28.820 --> 00:07:32.310
Může to být například 3 metry,
abych napsal nějaké jednotky.

00:07:32.310 --> 00:07:34.660
Jaký je obvod naší kružnice?

00:07:34.660 --> 00:07:38.180
Obvod je 2 krát pí krát poloměr.

00:07:38.180 --> 00:07:42.090
Takže to bude 2 krát pí krát poloměr,

00:07:42.090 --> 00:07:45.900
krát 3 metry,
což se rovná

00:07:45.900 --> 00:07:47.980
6 metrů krát pí

00:07:47.980 --> 00:07:52.430
nebo 6 pí metrů.

00:07:52.430 --> 00:07:53.740
A i to mohu stále násobit.

00:07:53.740 --> 00:07:55.900
Je třeba si pamatovat,
že pí je jen číslo.

00:07:55.900 --> 00:07:59.680
Pí je 3,14159 a mnoho dalších cifer.

00:07:59.680 --> 00:08:03.460
A když s ním vynásobím 6,
dostanu 18 celých

00:08:03.460 --> 00:08:05.600
něco něco něco.

00:08:05.600 --> 00:08:07.850
Jestli máte kalkulačku,
můžete to vynásobit,

00:08:07.850 --> 00:08:10.490
ale aby to bylo jednoduché,
lidé to raději

00:08:10.490 --> 00:08:12.120
nechají ve formě pí.

00:08:12.120 --> 00:08:16.590
Nevím přesně, kolik to bude,
když vynásobíte 6 krát 3,14159,

00:08:16.590 --> 00:08:18.510
nevím, jestli to bude blízko 19

00:08:18.510 --> 00:08:21.720
nebo 18, asi je to přibližně
18 celých něco něco něco.

00:08:21.720 --> 00:08:23.450
Nemám u sebe kalkulačku.

00:08:23.450 --> 00:08:25.300
Namísto takového čísla píšeme raději

00:08:25.300 --> 00:08:27.060
pouze 6 pí.

00:08:27.060 --> 00:08:29.770
Nezdá se mi, že by to bylo

00:08:29.770 --> 00:08:31.430
více než 19.

00:08:31.430 --> 00:08:33.770
Teď se zeptám na jednu věc.

00:08:33.770 --> 00:08:38.550
Co je průměr naší kružnice?

00:08:38.580 --> 00:08:42.690
No, když je poloměr 3,
tak průměr bude dvakrát tolik.

00:08:42.690 --> 00:08:45.730
Takže to bude 3 krát 2
nebo 3 plus 3,

00:08:45.730 --> 00:08:47.170
tedy 6 metrů.

00:08:47.170 --> 00:08:50.750
Takže obvod je 6 pí metrů,
průměr je 6 metrů

00:08:50.750 --> 00:08:53.620
a poloměr jsou 3 metry.

00:08:53.620 --> 00:08:55.110
Zkusme to teď opačně.

00:08:55.110 --> 00:08:57.310
Řekněme, že máme jinou kružnici.

00:08:57.310 --> 00:09:01.220
Takovouto kružnici.

00:09:01.220 --> 00:09:07.010
A řekněme, že jeho obvod je 10 metrů.

00:09:07.010 --> 00:09:08.560
Tady je náš obvod.

00:09:08.560 --> 00:09:10.990
Takže když známe obvod,

00:09:10.990 --> 00:09:18.370
jak zjistíme průměr?

00:09:18.370 --> 00:09:24.330
Víme, že průměr krát pí,
pí krát průměr,

00:09:24.330 --> 00:09:26.830
se rovná obvodu.

00:09:26.830 --> 00:09:28.700
Se rovná 10 metrů.

00:09:28.700 --> 00:09:31.020
Takže stačí podělit obě strany rovnice

00:09:31.020 --> 00:09:32.520
číslem pí.

00:09:32.520 --> 00:09:34.460
Tedy vidíme, že průměr je

00:09:34.460 --> 00:09:38.710
10 metrů děleno pí
nebo 10 děleno pí metrů.

00:09:38.710 --> 00:09:40.020
A to je také pouze číslo.

00:09:40.020 --> 00:09:44.470
Pokud máte kalkulačku,
můžete vydělit 10 děleno 3,14159,

00:09:44.470 --> 00:09:47.470
Dostanete 3 celých něco něco něco metrů.

00:09:47.510 --> 00:09:48.960
Z hlavy se to nedá,

00:09:48.960 --> 00:09:50.070
ale je to jen číslo,

00:09:50.070 --> 00:09:53.320
které pro jednoduchost necháváme tak.

00:09:53.320 --> 00:09:55.270
A co je náš poloměr?

00:09:55.270 --> 00:09:58.590
Poloměr je polovina průměru.

00:09:58.590 --> 00:10:02.870
Vlastně celá tato vzdálenost
je 10 děleno pí metrů.

00:10:02.870 --> 00:10:06.230
Když chceme pouze polovinu toho,

00:10:06.230 --> 00:10:07.580
je třeba to vynásobit 1/2.

00:10:07.580 --> 00:10:15.320
Máme 1/2 krát 10/pí,
což je to samé jako 1/2 krát 10,

00:10:15.320 --> 00:10:18.130
Můžeme vydělit jmenovatele
a čitatele dvojkou.

00:10:18.140 --> 00:10:21.130
Zůstane nám 5/pí.

00:10:21.130 --> 00:10:23.890
Takže poloměr je 5/pí.

00:10:23.890 --> 00:10:25.690
Nic extra speciálního.

00:10:25.690 --> 00:10:29.760
Je jen třeba si uvědomit,

00:10:29.760 --> 00:10:31.820
že pí je pouze číslo.

00:10:31.820 --> 00:10:38.640
Je to jen 3,14159
s hromadou desetinných míst.

00:10:38.640 --> 00:10:41.950
Existují tisíce knih o čísle pí.

00:10:41.950 --> 00:10:45.100
Dobře, možná trochu přeháním,

00:10:45.100 --> 00:10:48.340
ale knih by se ale dalo psát mnoho.

00:10:48.340 --> 00:10:49.340
Je to jen číslo.

00:10:49.340 --> 00:10:53.820
A pokud ho chcete psát
způsobem, na který jste zvyklí,

00:10:53.820 --> 00:10:55.650
vždy se to dá vynásobit.

00:10:55.680 --> 00:11:00.380
Většina lidí ale upřednostňuje
psát výsledky se symbolem pí.

00:11:00.380 --> 00:11:01.680
Tady to už asi necháme takhle.

00:11:01.680 --> 00:11:05.090
V následujícím videu budeme
počítat plochu kruhu.