1
00:00:00,780 --> 00:00:04,880
Kruh je asi nejzákladnějším útvarem
našeho vesmíru,

2
00:00:04,880 --> 00:00:09,560
když se podíváme na oběžné dráhy planet,

3
00:00:09,560 --> 00:00:10,710
kola

4
00:00:10,710 --> 00:00:12,840
anebo věci v molekulární úrovni.

5
00:00:12,840 --> 00:00:15,860
Kruh se jednoduše stále a stále

6
00:00:15,860 --> 00:00:17,350
všude objevuje.

7
00:00:17,350 --> 00:00:21,110
Takže se nám určitě hodí
rozumět některým jeho

8
00:00:21,110 --> 00:00:23,330
základním vlastnostem.

9
00:00:23,330 --> 00:00:26,200
Lidi přirozeně zajímaly vlastnosti kruhu,

10
00:00:26,200 --> 00:00:28,960
stačí, abyste se podívali na Měsíc,
abyste uviděli kruh,

11
00:00:28,960 --> 00:00:31,600
a určitě někdy nastal moment,
kdy si poprvé někdo řekl:

12
00:00:31,600 --> 00:00:32,910
Jaké jsou vlastnosti kružnice?

13
00:00:32,910 --> 00:00:36,150
První věc, které si mohli všimnout,
je, že v kružnici jsou vlastně

14
00:00:36,150 --> 00:00:38,690
všechny body stejně daleko

15
00:00:38,690 --> 00:00:40,440
od jednoho bodu.

16
00:00:40,440 --> 00:00:43,710
Všechny tyto body tady
jsou stejně vzdálené

17
00:00:43,710 --> 00:00:45,210
od tohoto středu.

18
00:00:45,210 --> 00:00:47,620
První věc, na kterou se
můžete zeptat, je,

19
00:00:47,620 --> 00:00:50,280
co je to ta stejná vzdálenost

20
00:00:50,280 --> 00:00:51,770
od středu?

21
00:00:51,770 --> 00:00:52,950
Ta přesně tady?

22
00:00:52,950 --> 00:00:58,110
Nazývá se poloměr.

23
00:00:58,110 --> 00:01:00,350
Je to vzdálenost od středu po okraj.

24
00:01:00,350 --> 00:01:02,820
Když je tento poloměr 3 centimetry,
tak i tento poloměr

25
00:01:02,820 --> 00:01:04,490
bude 3 centimetry.

26
00:01:04,490 --> 00:01:07,170
I tento poloměr bude 3 centimetry.

27
00:01:07,170 --> 00:01:08,270
Nikde nebude jiný.

28
00:01:08,270 --> 00:01:11,690
Kružnice je podle definice
množina bodů, které mají stejnou

29
00:01:11,690 --> 00:01:13,400
vzdálenost od středu.

30
00:01:13,400 --> 00:01:17,050
A ta vzdálenost je právě poloměr.

31
00:01:17,050 --> 00:01:19,880
Druhá zajímavá věc,
kterou mohli lidé chtít vědět, je,

32
00:01:19,880 --> 00:01:22,040
jak je kruh "tlustý"?

33
00:01:22,040 --> 00:01:26,360
Kde je nejširší?

34
00:01:26,360 --> 00:01:28,710
Anebo kdybychom ho
přestřihli na nejširším místě,

35
00:01:28,710 --> 00:01:30,390
jaká by to byla délka?

36
00:01:30,390 --> 00:01:32,340
A dokonce to nemusí být jen tady.

37
00:01:32,340 --> 00:01:35,490
Můžeme kruh přestřihnout
stejně v nejširším místě i tady.

38
00:01:35,490 --> 00:01:38,520
Jen ho nesmíme přestřihnout
někde jako například zde,

39
00:01:38,520 --> 00:01:40,120
neboť to by nebylo
přes nejširší místo.

40
00:01:40,120 --> 00:01:41,810
Je mnoho možností,
jak kruh přestřihnout skrz jeho

41
00:01:41,810 --> 00:01:43,480
nejširší místo.

42
00:01:43,480 --> 00:01:46,730
Už jsme viděli poloměr a teď
vidíme, že nejširší část kruhu

43
00:01:46,730 --> 00:01:49,580
prochází přes střed kruhu.

44
00:01:49,580 --> 00:01:52,920
Tudíž jsou to vlastně dva poloměry.

45
00:01:52,920 --> 00:01:55,640
Jeden poloměr máme tady a druhý poloměr

46
00:01:55,640 --> 00:01:57,240
máme tady.

47
00:01:57,240 --> 00:02:01,380
Tuto vzdálenost nazýváme

48
00:02:01,380 --> 00:02:03,030
průměr kruhu.

49
00:02:03,030 --> 00:02:06,390
Takže toto je průměr kruhu.

50
00:02:06,390 --> 00:02:09,260
A má jednoduchý vztah s poloměrem.

51
00:02:09,260 --> 00:02:19,035
Průměr se rovná 2 krát poloměr.

52
00:02:19,060 --> 00:02:21,790
Další nejzajímavější věc,
která vás může zajímat, je,

53
00:02:21,790 --> 00:02:24,560
jak je to daleko okolo celého kruhu.

54
00:02:24,560 --> 00:02:27,340
Kdybyste si vzali metr

55
00:02:27,340 --> 00:02:35,910
a odměřili byste okraj kruhu,
jaká by to byla délka?

56
00:02:35,910 --> 00:02:44,710
Nazývá se obvod.

57
00:02:44,710 --> 00:02:47,440
Už víme, jaký je vztah
mezi poloměrem a průměrem,

58
00:02:47,440 --> 00:02:49,790
ale jaký je vztah mezi
obvodem a například průměrem?

59
00:02:49,790 --> 00:02:51,550
A jestliže se vám nelíbí průměr,

60
00:02:51,550 --> 00:02:54,290
vždy se dá najít vztah s poloměrem.

61
00:02:54,290 --> 00:02:57,130
Tisíce let zpět lidé vytáhli své metry

62
00:02:57,130 --> 00:03:00,410
a měřili obvody
a poloměry kružnic.

63
00:03:00,430 --> 00:03:03,280
A řekněme, že jejich metry
nebyly zrovna nejpřesnější.

64
00:03:03,280 --> 00:03:05,010
Řekněme, že když změřili obvod,

65
00:03:05,010 --> 00:03:07,960
vycházel jim přibližně na 3.

66
00:03:07,960 --> 00:03:11,600
Potom změřili poloměr kružnice,
vlastně průměr,

67
00:03:11,600 --> 00:03:14,280
a řekli si, že průměr je

68
00:03:14,280 --> 00:03:16,290
přibližně 1.

69
00:03:16,290 --> 00:03:17,740
Potom řekli...
Napíšu si to.

70
00:03:17,740 --> 00:03:21,750
Zajímá nás poměr...

71
00:03:21,750 --> 00:03:22,660
Napíšu to jinak.

72
00:03:22,660 --> 00:03:37,565
Poměr obvodu kružnice
ku průměru kružnice.

73
00:03:37,565 --> 00:03:40,900
Takže řekněme, že někdo měl
takovoutu kružnice.

74
00:03:40,900 --> 00:03:43,170
Přesně takovou stejnou jako ta naše.

75
00:03:43,170 --> 00:03:45,880
Změřili obvod kružnice

76
00:03:45,880 --> 00:03:49,340
a řekli si, že je to přibližně

77
00:03:49,340 --> 00:03:50,490
3 metry.

78
00:03:50,490 --> 00:03:52,800
A když změřili průměr kružnice,

79
00:03:52,800 --> 00:03:55,050
bylo to přibližně 1.

80
00:03:55,050 --> 00:03:56,000
Dobře, to je zajímavé.

81
00:03:56,000 --> 00:03:57,520
Možná je poměr obvodu

82
00:03:57,520 --> 00:03:58,800
ku průměru opravdu 3.

83
00:03:58,800 --> 00:04:00,820
Možná je obvod kružnice
vždy přesně 3 krát tolik

84
00:04:00,820 --> 00:04:02,020
jako její průměr.

85
00:04:02,020 --> 00:04:03,610
To platilo jen pro tuto kružnici,
ale pojďme říci,

86
00:04:03,610 --> 00:04:05,720
že to zkusili pro jinou.

87
00:04:05,720 --> 00:04:07,870
Trošku jinou,
nakreslil jsem ji menší.

88
00:04:07,870 --> 00:04:11,200
Řekněme, že když
změřili obvod kružnice,

89
00:04:11,200 --> 00:04:14,960
naměřili přibližně 6 centimetrů,

90
00:04:14,960 --> 00:04:18,210
nepřesně, měli nepřesné pravítko.

91
00:04:18,210 --> 00:04:21,710
Potom změřili průměr a vyšlo jim

92
00:04:21,710 --> 00:04:23,520
2 centimetry.

93
00:04:23,520 --> 00:04:28,260
A zase se jim potvrdilo,
že poměr obvodu ku průměru

94
00:04:28,260 --> 00:04:30,230
je přibližně 3.

95
00:04:30,230 --> 00:04:32,140
To je celkem pěkná vlastnost.

96
00:04:32,140 --> 00:04:35,430
Možná je poměr obvodu ku
průměru ve všech kružnicích

97
00:04:35,430 --> 00:04:38,080
vždy stejný,
v jakékoli kružnici.

98
00:04:38,080 --> 00:04:40,260
Ale pokračovali ve výzkumu.

99
00:04:40,260 --> 00:04:42,510
Našli si přesnější měřící nástroje.

100
00:04:42,510 --> 00:04:45,090
A když je měli,
měřili ještě jednou a zjistili,

101
00:04:45,090 --> 00:04:47,630
že průměr je určitě 1.

102
00:04:47,630 --> 00:04:49,430
Řekli si, že průměr je
určitě přesně 1,

103
00:04:49,430 --> 00:04:51,810
ale když změřili obvod,

104
00:04:51,810 --> 00:04:55,960
přiblížil se skoro ke 3,1.

105
00:04:56,000 --> 00:04:57,290
A stejně to bylo i s poměrem.

106
00:04:57,290 --> 00:04:59,370
Zjistili, že poměr je blíže k 3,1.

107
00:04:59,370 --> 00:05:01,830
Ale stále to měřili dále, lépe a lépe.

108
00:05:01,830 --> 00:05:03,890
A jak postupně měřili,

109
00:05:03,890 --> 00:05:07,300
vycházelo jim stále
přesnější a přesnější číslo.

110
00:05:07,300 --> 00:05:10,850
Číslo 3,14159

111
00:05:10,850 --> 00:05:12,550
a stále jim jen rostl počet číslic,

112
00:05:12,550 --> 00:05:13,780
které se nikdy neopakovaly.

113
00:05:13,780 --> 00:05:16,640
Bylo to zvláštní a fascinující číslo,

114
00:05:16,640 --> 00:05:18,300
které se potom vyskytovalo i jinde.

115
00:05:18,300 --> 00:05:20,940
Toto číslo je jedno
z nejzákladnějších čísel našeho vesmíru,

116
00:05:20,940 --> 00:05:23,500
protože kružnice je nejzákladnějším
útvarem našeho vesmíru,

117
00:05:23,500 --> 00:05:26,680
a objevovalo se pro každou kružnici.

118
00:05:26,680 --> 00:05:30,095
Poměrem obvodu ku průměru
je toto magické číslo,

119
00:05:30,095 --> 00:05:32,390
které lidé i pojmenovali.

120
00:05:32,390 --> 00:05:37,580
Pojmenovali ho pí,
můžete takhle v latince

121
00:05:37,580 --> 00:05:41,880
anebo řeckým písmenem pí,
takto.

122
00:05:41,880 --> 00:05:45,090
Reprezentuje to číslo,
které je, hádám,

123
00:05:45,090 --> 00:05:46,790
nejfascinujícím číslem ve vesmíru.

124
00:05:46,790 --> 00:05:51,720
Nejdříve se vidíme jako poměr
obvodu kružnice ku jejímu poloměru,

125
00:05:51,720 --> 00:05:55,710
no jak se nadále naučíte
v matematice,

126
00:05:55,710 --> 00:05:57,160
se ještě mnohokrát ukáže.

127
00:05:57,160 --> 00:05:59,500
Právě takové číslo ukazuje,

128
00:05:59,500 --> 00:06:03,060
že je ve vesmíru nějaký pořádek.

129
00:06:03,060 --> 00:06:07,190
Ale jak ho můžeme použít

130
00:06:07,190 --> 00:06:09,330
v základní matematice?

131
00:06:09,330 --> 00:06:12,490
Víme, anebo vám to vlastně říkám,
že poměr

132
00:06:12,490 --> 00:06:19,420
obvodu ku průměru...
Když říkám poměr,

133
00:06:19,420 --> 00:06:21,390
doslova myslím,
že když vydělíte obvod průměrem,

134
00:06:21,390 --> 00:06:28,400
dostanete číslo pí.

135
00:06:28,400 --> 00:06:29,700
Pi je jednoduše toto číslo.

136
00:06:29,710 --> 00:06:33,570
Mohl bych napsat 3,14159
a jít dále a dále,

137
00:06:33,570 --> 00:06:35,950
ale to by byla ztráta času
a bylo by těžké

138
00:06:35,950 --> 00:06:38,570
s ním pracovat,
proto se jednoduše píše jako

139
00:06:38,570 --> 00:06:40,330
řecké písmeno pí.

140
00:06:40,330 --> 00:06:41,850
A jak to použijeme?

141
00:06:41,850 --> 00:06:44,920
Můžeme obě strany rovnice
vynásobit průměrem

142
00:06:44,920 --> 00:06:48,640
a vidíme, že obvod se rovná

143
00:06:48,640 --> 00:06:50,820
pí krát průměr.

144
00:06:50,820 --> 00:06:55,570
A když víme, že průměr
je dvakrát poloměr,

145
00:06:55,570 --> 00:06:59,420
můžeme říci, že obvod se rovná

146
00:06:59,420 --> 00:07:00,360
pí krát 2 krát poloměr.

147
00:07:00,360 --> 00:07:05,070
Forma, v jaké to budete často vidět, je

148
00:07:05,070 --> 00:07:07,360
2 pí r.

149
00:07:07,360 --> 00:07:11,220
Tak se pojďme podívat,
jak to bude fungovat.

150
00:07:11,220 --> 00:07:17,240
Řekněme, že máme kružnici,

151
00:07:17,240 --> 00:07:22,600
a já vám řeknu,
že má poloměr 3.

152
00:07:22,600 --> 00:07:28,820
Nejdříve to napíšu.
Poloměr rovná se 3.

153
00:07:28,820 --> 00:07:32,310
Může to být například 3 metry,
abych napsal nějaké jednotky.

154
00:07:32,310 --> 00:07:34,660
Jaký je obvod naší kružnice?

155
00:07:34,660 --> 00:07:38,180
Obvod je 2 krát pí krát poloměr.

156
00:07:38,180 --> 00:07:42,090
Takže to bude 2 krát pí krát poloměr,

157
00:07:42,090 --> 00:07:45,900
krát 3 metry,
což se rovná

158
00:07:45,900 --> 00:07:47,980
6 metrů krát pí

159
00:07:47,980 --> 00:07:52,430
nebo 6 pí metrů.

160
00:07:52,430 --> 00:07:53,740
A i to mohu stále násobit.

161
00:07:53,740 --> 00:07:55,900
Je třeba si pamatovat,
že pí je jen číslo.

162
00:07:55,900 --> 00:07:59,680
Pí je 3,14159 a mnoho dalších cifer.

163
00:07:59,680 --> 00:08:03,460
A když s ním vynásobím 6,
dostanu 18 celých

164
00:08:03,460 --> 00:08:05,600
něco něco něco.

165
00:08:05,600 --> 00:08:07,850
Jestli máte kalkulačku,
můžete to vynásobit,

166
00:08:07,850 --> 00:08:10,490
ale aby to bylo jednoduché,
lidé to raději

167
00:08:10,490 --> 00:08:12,120
nechají ve formě pí.

168
00:08:12,120 --> 00:08:16,590
Nevím přesně, kolik to bude,
když vynásobíte 6 krát 3,14159,

169
00:08:16,590 --> 00:08:18,510
nevím, jestli to bude blízko 19

170
00:08:18,510 --> 00:08:21,720
nebo 18, asi je to přibližně
18 celých něco něco něco.

171
00:08:21,720 --> 00:08:23,450
Nemám u sebe kalkulačku.

172
00:08:23,450 --> 00:08:25,300
Namísto takového čísla píšeme raději

173
00:08:25,300 --> 00:08:27,060
pouze 6 pí.

174
00:08:27,060 --> 00:08:29,770
Nezdá se mi, že by to bylo

175
00:08:29,770 --> 00:08:31,430
více než 19.

176
00:08:31,430 --> 00:08:33,770
Teď se zeptám na jednu věc.

177
00:08:33,770 --> 00:08:38,550
Co je průměr naší kružnice?

178
00:08:38,580 --> 00:08:42,690
No, když je poloměr 3,
tak průměr bude dvakrát tolik.

179
00:08:42,690 --> 00:08:45,730
Takže to bude 3 krát 2
nebo 3 plus 3,

180
00:08:45,730 --> 00:08:47,170
tedy 6 metrů.

181
00:08:47,170 --> 00:08:50,750
Takže obvod je 6 pí metrů,
průměr je 6 metrů

182
00:08:50,750 --> 00:08:53,620
a poloměr jsou 3 metry.

183
00:08:53,620 --> 00:08:55,110
Zkusme to teď opačně.

184
00:08:55,110 --> 00:08:57,310
Řekněme, že máme jinou kružnici.

185
00:08:57,310 --> 00:09:01,220
Takovouto kružnici.

186
00:09:01,220 --> 00:09:07,010
A řekněme, že jeho obvod je 10 metrů.

187
00:09:07,010 --> 00:09:08,560
Tady je náš obvod.

188
00:09:08,560 --> 00:09:10,990
Takže když známe obvod,

189
00:09:10,990 --> 00:09:18,370
jak zjistíme průměr?

190
00:09:18,370 --> 00:09:24,330
Víme, že průměr krát pí,
pí krát průměr,

191
00:09:24,330 --> 00:09:26,830
se rovná obvodu.

192
00:09:26,830 --> 00:09:28,700
Se rovná 10 metrů.

193
00:09:28,700 --> 00:09:31,020
Takže stačí podělit obě strany rovnice

194
00:09:31,020 --> 00:09:32,520
číslem pí.

195
00:09:32,520 --> 00:09:34,460
Tedy vidíme, že průměr je

196
00:09:34,460 --> 00:09:38,710
10 metrů děleno pí
nebo 10 děleno pí metrů.

197
00:09:38,710 --> 00:09:40,020
A to je také pouze číslo.

198
00:09:40,020 --> 00:09:44,470
Pokud máte kalkulačku,
můžete vydělit 10 děleno 3,14159,

199
00:09:44,470 --> 00:09:47,470
Dostanete 3 celých něco něco něco metrů.

200
00:09:47,510 --> 00:09:48,960
Z hlavy se to nedá,

201
00:09:48,960 --> 00:09:50,070
ale je to jen číslo,

202
00:09:50,070 --> 00:09:53,320
které pro jednoduchost necháváme tak.

203
00:09:53,320 --> 00:09:55,270
A co je náš poloměr?

204
00:09:55,270 --> 00:09:58,590
Poloměr je polovina průměru.

205
00:09:58,590 --> 00:10:02,870
Vlastně celá tato vzdálenost
je 10 děleno pí metrů.

206
00:10:02,870 --> 00:10:06,230
Když chceme pouze polovinu toho,

207
00:10:06,230 --> 00:10:07,580
je třeba to vynásobit 1/2.

208
00:10:07,580 --> 00:10:15,320
Máme 1/2 krát 10/pí,
což je to samé jako 1/2 krát 10,

209
00:10:15,320 --> 00:10:18,130
Můžeme vydělit jmenovatele
a čitatele dvojkou.

210
00:10:18,140 --> 00:10:21,130
Zůstane nám 5/pí.

211
00:10:21,130 --> 00:10:23,890
Takže poloměr je 5/pí.

212
00:10:23,890 --> 00:10:25,690
Nic extra speciálního.

213
00:10:25,690 --> 00:10:29,760
Je jen třeba si uvědomit,

214
00:10:29,760 --> 00:10:31,820
že pí je pouze číslo.

215
00:10:31,820 --> 00:10:38,640
Je to jen 3,14159
s hromadou desetinných míst.

216
00:10:38,640 --> 00:10:41,950
Existují tisíce knih o čísle pí.

217
00:10:41,950 --> 00:10:45,100
Dobře, možná trochu přeháním,

218
00:10:45,100 --> 00:10:48,340
ale knih by se ale dalo psát mnoho.

219
00:10:48,340 --> 00:10:49,340
Je to jen číslo.

220
00:10:49,340 --> 00:10:53,820
A pokud ho chcete psát
způsobem, na který jste zvyklí,

221
00:10:53,820 --> 00:10:55,650
vždy se to dá vynásobit.

222
00:10:55,680 --> 00:11:00,380
Většina lidí ale upřednostňuje
psát výsledky se symbolem pí.

223
00:11:00,380 --> 00:11:01,680
Tady to už asi necháme takhle.

224
00:11:01,680 --> 00:11:05,090
V následujícím videu budeme
počítat plochu kruhu.