0:00:00.780,0:00:04.880 Kruh je asi nejzákladnějším útvarem[br]našeho vesmíru, 0:00:04.880,0:00:09.560 když se podíváme na oběžné dráhy planet, 0:00:09.560,0:00:10.710 kola 0:00:10.710,0:00:12.840 anebo věci v molekulární úrovni. 0:00:12.840,0:00:15.860 Kruh se jednoduše stále a stále 0:00:15.860,0:00:17.350 všude objevuje. 0:00:17.350,0:00:21.110 Takže se nám určitě hodí[br]rozumět některým jeho 0:00:21.110,0:00:23.330 základním vlastnostem. 0:00:23.330,0:00:26.200 Lidi přirozeně zajímaly vlastnosti kruhu, 0:00:26.200,0:00:28.960 stačí, abyste se podívali na Měsíc,[br]abyste uviděli kruh, 0:00:28.960,0:00:31.600 a určitě někdy nastal moment,[br]kdy si poprvé někdo řekl: 0:00:31.600,0:00:32.910 Jaké jsou vlastnosti kružnice? 0:00:32.910,0:00:36.150 První věc, které si mohli všimnout,[br]je, že v kružnici jsou vlastně 0:00:36.150,0:00:38.690 všechny body stejně daleko 0:00:38.690,0:00:40.440 od jednoho bodu. 0:00:40.440,0:00:43.710 Všechny tyto body tady[br]jsou stejně vzdálené 0:00:43.710,0:00:45.210 od tohoto středu. 0:00:45.210,0:00:47.620 První věc, na kterou se[br]můžete zeptat, je, 0:00:47.620,0:00:50.280 co je to ta stejná vzdálenost 0:00:50.280,0:00:51.770 od středu? 0:00:51.770,0:00:52.950 Ta přesně tady? 0:00:52.950,0:00:58.110 Nazývá se poloměr. 0:00:58.110,0:01:00.350 Je to vzdálenost od středu po okraj. 0:01:00.350,0:01:02.820 Když je tento poloměr 3 centimetry,[br]tak i tento poloměr 0:01:02.820,0:01:04.490 bude 3 centimetry. 0:01:04.490,0:01:07.170 I tento poloměr bude 3 centimetry. 0:01:07.170,0:01:08.270 Nikde nebude jiný. 0:01:08.270,0:01:11.690 Kružnice je podle definice[br]množina bodů, které mají stejnou 0:01:11.690,0:01:13.400 vzdálenost od středu. 0:01:13.400,0:01:17.050 A ta vzdálenost je právě poloměr. 0:01:17.050,0:01:19.880 Druhá zajímavá věc,[br]kterou mohli lidé chtít vědět, je, 0:01:19.880,0:01:22.040 jak je kruh "tlustý"? 0:01:22.040,0:01:26.360 Kde je nejširší? 0:01:26.360,0:01:28.710 Anebo kdybychom ho[br]přestřihli na nejširším místě, 0:01:28.710,0:01:30.390 jaká by to byla délka? 0:01:30.390,0:01:32.340 A dokonce to nemusí být jen tady. 0:01:32.340,0:01:35.490 Můžeme kruh přestřihnout[br]stejně v nejširším místě i tady. 0:01:35.490,0:01:38.520 Jen ho nesmíme přestřihnout[br]někde jako například zde, 0:01:38.520,0:01:40.120 neboť to by nebylo[br]přes nejširší místo. 0:01:40.120,0:01:41.810 Je mnoho možností,[br]jak kruh přestřihnout skrz jeho 0:01:41.810,0:01:43.480 nejširší místo. 0:01:43.480,0:01:46.730 Už jsme viděli poloměr a teď[br]vidíme, že nejširší část kruhu 0:01:46.730,0:01:49.580 prochází přes střed kruhu. 0:01:49.580,0:01:52.920 Tudíž jsou to vlastně dva poloměry. 0:01:52.920,0:01:55.640 Jeden poloměr máme tady a druhý poloměr 0:01:55.640,0:01:57.240 máme tady. 0:01:57.240,0:02:01.380 Tuto vzdálenost nazýváme 0:02:01.380,0:02:03.030 průměr kruhu. 0:02:03.030,0:02:06.390 Takže toto je průměr kruhu. 0:02:06.390,0:02:09.260 A má jednoduchý vztah s poloměrem. 0:02:09.260,0:02:19.035 Průměr se rovná 2 krát poloměr. 0:02:19.060,0:02:21.790 Další nejzajímavější věc,[br]která vás může zajímat, je, 0:02:21.790,0:02:24.560 jak je to daleko okolo celého kruhu. 0:02:24.560,0:02:27.340 Kdybyste si vzali metr 0:02:27.340,0:02:35.910 a odměřili byste okraj kruhu,[br]jaká by to byla délka? 0:02:35.910,0:02:44.710 Nazývá se obvod. 0:02:44.710,0:02:47.440 Už víme, jaký je vztah[br]mezi poloměrem a průměrem, 0:02:47.440,0:02:49.790 ale jaký je vztah mezi[br]obvodem a například průměrem? 0:02:49.790,0:02:51.550 A jestliže se vám nelíbí průměr, 0:02:51.550,0:02:54.290 vždy se dá najít vztah s poloměrem. 0:02:54.290,0:02:57.130 Tisíce let zpět lidé vytáhli své metry 0:02:57.130,0:03:00.410 a měřili obvody[br]a poloměry kružnic. 0:03:00.430,0:03:03.280 A řekněme, že jejich metry[br]nebyly zrovna nejpřesnější. 0:03:03.280,0:03:05.010 Řekněme, že když změřili obvod, 0:03:05.010,0:03:07.960 vycházel jim přibližně na 3. 0:03:07.960,0:03:11.600 Potom změřili poloměr kružnice,[br]vlastně průměr, 0:03:11.600,0:03:14.280 a řekli si, že průměr je 0:03:14.280,0:03:16.290 přibližně 1. 0:03:16.290,0:03:17.740 Potom řekli...[br]Napíšu si to. 0:03:17.740,0:03:21.750 Zajímá nás poměr... 0:03:21.750,0:03:22.660 Napíšu to jinak. 0:03:22.660,0:03:37.565 Poměr obvodu kružnice[br]ku průměru kružnice. 0:03:37.565,0:03:40.900 Takže řekněme, že někdo měl[br]takovoutu kružnice. 0:03:40.900,0:03:43.170 Přesně takovou stejnou jako ta naše. 0:03:43.170,0:03:45.880 Změřili obvod kružnice 0:03:45.880,0:03:49.340 a řekli si, že je to přibližně 0:03:49.340,0:03:50.490 3 metry. 0:03:50.490,0:03:52.800 A když změřili průměr kružnice, 0:03:52.800,0:03:55.050 bylo to přibližně 1. 0:03:55.050,0:03:56.000 Dobře, to je zajímavé. 0:03:56.000,0:03:57.520 Možná je poměr obvodu 0:03:57.520,0:03:58.800 ku průměru opravdu 3. 0:03:58.800,0:04:00.820 Možná je obvod kružnice[br]vždy přesně 3 krát tolik 0:04:00.820,0:04:02.020 jako její průměr. 0:04:02.020,0:04:03.610 To platilo jen pro tuto kružnici,[br]ale pojďme říci, 0:04:03.610,0:04:05.720 že to zkusili pro jinou. 0:04:05.720,0:04:07.870 Trošku jinou,[br]nakreslil jsem ji menší. 0:04:07.870,0:04:11.200 Řekněme, že když[br]změřili obvod kružnice, 0:04:11.200,0:04:14.960 naměřili přibližně 6 centimetrů, 0:04:14.960,0:04:18.210 nepřesně, měli nepřesné pravítko. 0:04:18.210,0:04:21.710 Potom změřili průměr a vyšlo jim 0:04:21.710,0:04:23.520 2 centimetry. 0:04:23.520,0:04:28.260 A zase se jim potvrdilo,[br]že poměr obvodu ku průměru 0:04:28.260,0:04:30.230 je přibližně 3. 0:04:30.230,0:04:32.140 To je celkem pěkná vlastnost. 0:04:32.140,0:04:35.430 Možná je poměr obvodu ku[br]průměru ve všech kružnicích 0:04:35.430,0:04:38.080 vždy stejný,[br]v jakékoli kružnici. 0:04:38.080,0:04:40.260 Ale pokračovali ve výzkumu. 0:04:40.260,0:04:42.510 Našli si přesnější měřící nástroje. 0:04:42.510,0:04:45.090 A když je měli,[br]měřili ještě jednou a zjistili, 0:04:45.090,0:04:47.630 že průměr je určitě 1. 0:04:47.630,0:04:49.430 Řekli si, že průměr je[br]určitě přesně 1, 0:04:49.430,0:04:51.810 ale když změřili obvod, 0:04:51.810,0:04:55.960 přiblížil se skoro ke 3,1. 0:04:56.000,0:04:57.290 A stejně to bylo i s poměrem. 0:04:57.290,0:04:59.370 Zjistili, že poměr je blíže k 3,1. 0:04:59.370,0:05:01.830 Ale stále to měřili dále, lépe a lépe. 0:05:01.830,0:05:03.890 A jak postupně měřili, 0:05:03.890,0:05:07.300 vycházelo jim stále[br]přesnější a přesnější číslo. 0:05:07.300,0:05:10.850 Číslo 3,14159 0:05:10.850,0:05:12.550 a stále jim jen rostl počet číslic, 0:05:12.550,0:05:13.780 které se nikdy neopakovaly. 0:05:13.780,0:05:16.640 Bylo to zvláštní a fascinující číslo, 0:05:16.640,0:05:18.300 které se potom vyskytovalo i jinde. 0:05:18.300,0:05:20.940 Toto číslo je jedno[br]z nejzákladnějších čísel našeho vesmíru, 0:05:20.940,0:05:23.500 protože kružnice je nejzákladnějším[br]útvarem našeho vesmíru, 0:05:23.500,0:05:26.680 a objevovalo se pro každou kružnici. 0:05:26.680,0:05:30.095 Poměrem obvodu ku průměru[br]je toto magické číslo, 0:05:30.095,0:05:32.390 které lidé i pojmenovali. 0:05:32.390,0:05:37.580 Pojmenovali ho pí,[br]můžete takhle v latince 0:05:37.580,0:05:41.880 anebo řeckým písmenem pí,[br]takto. 0:05:41.880,0:05:45.090 Reprezentuje to číslo,[br]které je, hádám, 0:05:45.090,0:05:46.790 nejfascinujícím číslem ve vesmíru. 0:05:46.790,0:05:51.720 Nejdříve se vidíme jako poměr[br]obvodu kružnice ku jejímu poloměru, 0:05:51.720,0:05:55.710 no jak se nadále naučíte[br]v matematice, 0:05:55.710,0:05:57.160 se ještě mnohokrát ukáže. 0:05:57.160,0:05:59.500 Právě takové číslo ukazuje, 0:05:59.500,0:06:03.060 že je ve vesmíru nějaký pořádek. 0:06:03.060,0:06:07.190 Ale jak ho můžeme použít 0:06:07.190,0:06:09.330 v základní matematice? 0:06:09.330,0:06:12.490 Víme, anebo vám to vlastně říkám,[br]že poměr 0:06:12.490,0:06:19.420 obvodu ku průměru...[br]Když říkám poměr, 0:06:19.420,0:06:21.390 doslova myslím,[br]že když vydělíte obvod průměrem, 0:06:21.390,0:06:28.400 dostanete číslo pí. 0:06:28.400,0:06:29.700 Pi je jednoduše toto číslo. 0:06:29.710,0:06:33.570 Mohl bych napsat 3,14159[br]a jít dále a dále, 0:06:33.570,0:06:35.950 ale to by byla ztráta času[br]a bylo by těžké 0:06:35.950,0:06:38.570 s ním pracovat,[br]proto se jednoduše píše jako 0:06:38.570,0:06:40.330 řecké písmeno pí. 0:06:40.330,0:06:41.850 A jak to použijeme? 0:06:41.850,0:06:44.920 Můžeme obě strany rovnice[br]vynásobit průměrem 0:06:44.920,0:06:48.640 a vidíme, že obvod se rovná 0:06:48.640,0:06:50.820 pí krát průměr. 0:06:50.820,0:06:55.570 A když víme, že průměr[br]je dvakrát poloměr, 0:06:55.570,0:06:59.420 můžeme říci, že obvod se rovná 0:06:59.420,0:07:00.360 pí krát 2 krát poloměr. 0:07:00.360,0:07:05.070 Forma, v jaké to budete často vidět, je 0:07:05.070,0:07:07.360 2 pí r. 0:07:07.360,0:07:11.220 Tak se pojďme podívat,[br]jak to bude fungovat. 0:07:11.220,0:07:17.240 Řekněme, že máme kružnici, 0:07:17.240,0:07:22.600 a já vám řeknu,[br]že má poloměr 3. 0:07:22.600,0:07:28.820 Nejdříve to napíšu.[br]Poloměr rovná se 3. 0:07:28.820,0:07:32.310 Může to být například 3 metry,[br]abych napsal nějaké jednotky. 0:07:32.310,0:07:34.660 Jaký je obvod naší kružnice? 0:07:34.660,0:07:38.180 Obvod je 2 krát pí krát poloměr. 0:07:38.180,0:07:42.090 Takže to bude 2 krát pí krát poloměr, 0:07:42.090,0:07:45.900 krát 3 metry,[br]což se rovná 0:07:45.900,0:07:47.980 6 metrů krát pí 0:07:47.980,0:07:52.430 nebo 6 pí metrů. 0:07:52.430,0:07:53.740 A i to mohu stále násobit. 0:07:53.740,0:07:55.900 Je třeba si pamatovat,[br]že pí je jen číslo. 0:07:55.900,0:07:59.680 Pí je 3,14159 a mnoho dalších cifer. 0:07:59.680,0:08:03.460 A když s ním vynásobím 6,[br]dostanu 18 celých 0:08:03.460,0:08:05.600 něco něco něco. 0:08:05.600,0:08:07.850 Jestli máte kalkulačku,[br]můžete to vynásobit, 0:08:07.850,0:08:10.490 ale aby to bylo jednoduché,[br]lidé to raději 0:08:10.490,0:08:12.120 nechají ve formě pí. 0:08:12.120,0:08:16.590 Nevím přesně, kolik to bude,[br]když vynásobíte 6 krát 3,14159, 0:08:16.590,0:08:18.510 nevím, jestli to bude blízko 19 0:08:18.510,0:08:21.720 nebo 18, asi je to přibližně[br]18 celých něco něco něco. 0:08:21.720,0:08:23.450 Nemám u sebe kalkulačku. 0:08:23.450,0:08:25.300 Namísto takového čísla píšeme raději 0:08:25.300,0:08:27.060 pouze 6 pí. 0:08:27.060,0:08:29.770 Nezdá se mi, že by to bylo 0:08:29.770,0:08:31.430 více než 19. 0:08:31.430,0:08:33.770 Teď se zeptám na jednu věc. 0:08:33.770,0:08:38.550 Co je průměr naší kružnice? 0:08:38.580,0:08:42.690 No, když je poloměr 3,[br]tak průměr bude dvakrát tolik. 0:08:42.690,0:08:45.730 Takže to bude 3 krát 2[br]nebo 3 plus 3, 0:08:45.730,0:08:47.170 tedy 6 metrů. 0:08:47.170,0:08:50.750 Takže obvod je 6 pí metrů,[br]průměr je 6 metrů 0:08:50.750,0:08:53.620 a poloměr jsou 3 metry. 0:08:53.620,0:08:55.110 Zkusme to teď opačně. 0:08:55.110,0:08:57.310 Řekněme, že máme jinou kružnici. 0:08:57.310,0:09:01.220 Takovouto kružnici. 0:09:01.220,0:09:07.010 A řekněme, že jeho obvod je 10 metrů. 0:09:07.010,0:09:08.560 Tady je náš obvod. 0:09:08.560,0:09:10.990 Takže když známe obvod, 0:09:10.990,0:09:18.370 jak zjistíme průměr? 0:09:18.370,0:09:24.330 Víme, že průměr krát pí,[br]pí krát průměr, 0:09:24.330,0:09:26.830 se rovná obvodu. 0:09:26.830,0:09:28.700 Se rovná 10 metrů. 0:09:28.700,0:09:31.020 Takže stačí podělit obě strany rovnice 0:09:31.020,0:09:32.520 číslem pí. 0:09:32.520,0:09:34.460 Tedy vidíme, že průměr je 0:09:34.460,0:09:38.710 10 metrů děleno pí[br]nebo 10 děleno pí metrů. 0:09:38.710,0:09:40.020 A to je také pouze číslo. 0:09:40.020,0:09:44.470 Pokud máte kalkulačku,[br]můžete vydělit 10 děleno 3,14159, 0:09:44.470,0:09:47.470 Dostanete 3 celých něco něco něco metrů. 0:09:47.510,0:09:48.960 Z hlavy se to nedá, 0:09:48.960,0:09:50.070 ale je to jen číslo, 0:09:50.070,0:09:53.320 které pro jednoduchost necháváme tak. 0:09:53.320,0:09:55.270 A co je náš poloměr? 0:09:55.270,0:09:58.590 Poloměr je polovina průměru. 0:09:58.590,0:10:02.870 Vlastně celá tato vzdálenost[br]je 10 děleno pí metrů. 0:10:02.870,0:10:06.230 Když chceme pouze polovinu toho, 0:10:06.230,0:10:07.580 je třeba to vynásobit 1/2. 0:10:07.580,0:10:15.320 Máme 1/2 krát 10/pí,[br]což je to samé jako 1/2 krát 10, 0:10:15.320,0:10:18.130 Můžeme vydělit jmenovatele[br]a čitatele dvojkou. 0:10:18.140,0:10:21.130 Zůstane nám 5/pí. 0:10:21.130,0:10:23.890 Takže poloměr je 5/pí. 0:10:23.890,0:10:25.690 Nic extra speciálního. 0:10:25.690,0:10:29.760 Je jen třeba si uvědomit, 0:10:29.760,0:10:31.820 že pí je pouze číslo. 0:10:31.820,0:10:38.640 Je to jen 3,14159[br]s hromadou desetinných míst. 0:10:38.640,0:10:41.950 Existují tisíce knih o čísle pí. 0:10:41.950,0:10:45.100 Dobře, možná trochu přeháním, 0:10:45.100,0:10:48.340 ale knih by se ale dalo psát mnoho. 0:10:48.340,0:10:49.340 Je to jen číslo. 0:10:49.340,0:10:53.820 A pokud ho chcete psát[br]způsobem, na který jste zvyklí, 0:10:53.820,0:10:55.650 vždy se to dá vynásobit. 0:10:55.680,0:11:00.380 Většina lidí ale upřednostňuje[br]psát výsledky se symbolem pí. 0:11:00.380,0:11:01.680 Tady to už asi necháme takhle. 0:11:01.680,0:11:05.090 V následujícím videu budeme[br]počítat plochu kruhu.