WEBVTT

00:00:00.690 --> 00:00:03.450
제가 이 강의에서 하고자 하는 것은
기하학적으로 굉장히 유용한

00:00:03.450 --> 00:00:08.980
결과를 증명하는 것인데,
바로 원주각에 관한 내용입니다

00:00:08.980 --> 00:00:14.950
원주각은 각의 꼭지점이 원주 위에

00:00:14.950 --> 00:00:17.080
위치한 각을 말합니다

00:00:17.080 --> 00:00:19.800
즉, 이런 각이 원주각입니다

00:00:19.800 --> 00:00:24.950
이 각을 𝜓라고 두겠습니다
지금부터 이 강의에서 원주각은 𝜓를 이용해서

00:00:24.950 --> 00:00:27.170
표시하겠습니다

00:00:27.170 --> 00:00:33.530
이 𝜓는, 즉 원주각은 중심각의 크기의

00:00:33.530 --> 00:00:37.880
정확히 2분의 1의 크기를 가집니다

00:00:37.880 --> 00:00:40.730
이상한 말을 좀 쓰겠지만 여러분들은 다들

00:00:40.730 --> 00:00:41.650
알아들을 거라고 생각합니다

00:00:41.650 --> 00:00:42.820
그러니까 이것이 𝜓입니다

00:00:42.820 --> 00:00:44.470
즉 원주각입니다

00:00:44.470 --> 00:00:48.710
그리고 이 각의 꼭지점은 원주 위에 있습니다

00:00:48.710 --> 00:00:52.570
그리고 이 각을 연장하는 두 개의 직선을 그린다면

00:00:52.570 --> 00:00:56.040
다르게 말하면 이 각을 정의하는 두 직선을 그리면
반대쪽에서

00:00:56.040 --> 00:00:57.340
원주와 만납니다

00:00:57.340 --> 00:01:00.390
그리고 그 교점 사이에 있는 원주의 일부가 보인다면

00:01:00.390 --> 00:01:03.730
그것은 𝜓에 대응하는

00:01:03.730 --> 00:01:06.160
원의 호입니다

00:01:06.160 --> 00:01:09.010
단어는 다들 복잡한 단어들이지만,
개념은 상당히 간단한

00:01:09.010 --> 00:01:09.920
개념입니다

00:01:09.920 --> 00:01:28.485
단지 이 부분이 𝜓에 대응하는 호이고

00:01:28.485 --> 00:01:31.560
𝜓는 바로 이 원주각입니다
그리고 이 각의 꼭지점은

00:01:31.560 --> 00:01:32.400
원주 위에 있습니다

00:01:32.400 --> 00:01:37.920
또한, 중심각은 꼭지점이 원의 중심에

00:01:37.920 --> 00:01:39.460
위치한 각입니다

00:01:39.460 --> 00:01:41.880
그러니까 여기쯤이라고 해봅시다
-- 대충 눈짐작으로 정했습니다--

00:01:41.880 --> 00:01:45.510
이제 저 지점이 원의 중심입니다

00:01:45.510 --> 00:01:51.360
그럼 이제 아까 원주각과 같은 호에 대응하는
중심각을 그려 보겠습니다

00:01:51.360 --> 00:01:58.470
이 각이 같은 호에 대한 중심각입니다

00:01:58.470 --> 00:01:59.390
이런 식으로

00:01:59.390 --> 00:02:01.440
이 각을 𝛳라고 해 봅시다

00:02:01.440 --> 00:02:06.030
그러니까 이 각은 𝜓이고, 여기 이 각은 𝛳입니다

00:02:06.030 --> 00:02:10.120
제가 이 강의에서 증명하고 싶은 것은
𝜓가 항상

00:02:10.120 --> 00:02:14.050
𝛳의 2분의 1이 된다는 것입니다

00:02:14.050 --> 00:02:18.220
즉 예를 들어 제가 여러분들에게 
𝜓를 25°라고 한다면

00:02:18.220 --> 00:02:21.330
여러분들은 𝛳가 반드시 50°가 되어야 한다는 사실을

00:02:21.330 --> 00:02:23.090
바로 알 수 있을 것입니다

00:02:23.090 --> 00:02:26.080
아니면 제가 𝛳가 80°라고 말한다고 해도

00:02:26.080 --> 00:02:29.300
여러분들은 바로 𝜓가 40°라는 것을 알 것입니다

00:02:29.300 --> 00:02:31.500
그럼 이것을 증명해 봅시다

00:02:31.500 --> 00:02:34.520
이건 분명히 해두겠습니다

00:02:34.520 --> 00:02:37.730
시작하기 좋은 지점이나, 제가 시작하려고 하는 곳은

00:02:37.730 --> 00:02:40.460
특별한 경우입니다

00:02:40.460 --> 00:02:45.250
제가 지금 원주각을 하나 그릴 것인데
그 중에서도 한 현이

00:02:45.250 --> 00:02:47.910
원의 지름으로 정의되는 각을 그릴 것입니다

00:02:47.910 --> 00:02:50.526
이것은 일반적인 경우가 아닙니다

00:02:50.526 --> 00:02:51.320
아주 특별한 경우입니다

00:02:51.320 --> 00:02:55.325
그러니까, 바로 이쯤이 원의 중심이 될 것이고

00:02:55.325 --> 00:02:59.030
눈대중으로 찍고 있는 것입니다

00:02:59.030 --> 00:03:00.770
여기가 원의 중심인 것 같군요

00:03:00.770 --> 00:03:04.210
그리고 이제 지름을 그리겠습니다

00:03:04.210 --> 00:03:06.440
이것이 이 원의 지름입니다

00:03:06.440 --> 00:03:09.410
이제 원주각을 정의해 보겠습니다

00:03:09.410 --> 00:03:11.860
지름이 한쪽 변이고

00:03:11.860 --> 00:03:15.910
다른 변은 예를 들어 이렇게 생겼다고 합시다

00:03:15.910 --> 00:03:20.520
이 각을 𝜓라고 하겠습니다

00:03:20.520 --> 00:03:27.120
이 각이 𝜓이면, 여기 이 길이는 반지름입니다

00:03:27.120 --> 00:03:29.330
이 원의 반지름이지요

00:03:29.330 --> 00:03:33.080
그러면 이 부분의 길이도 또한 반지름이 될 것입니다

00:03:33.080 --> 00:03:35.760
중심에서부터 원주에 이르는 거리이기 때문이죠

00:03:35.760 --> 00:03:38.130
원주는 원의 중심에서부터의 거리가 
반지름만큼 떨어져 있는

00:03:38.130 --> 00:03:40.340
모든 점들의 집합으로 정의됩니다

00:03:40.340 --> 00:03:43.610
따라서 이것도 반지름입니다

00:03:43.610 --> 00:03:47.920
이제 이 삼각형은 이등변삼각형입니다

00:03:47.920 --> 00:03:49.890
같은 길이를 가진 두 변으로 이루어져 있으니까요

00:03:49.890 --> 00:03:51.880
저 두 변의 길이는 정확히 같습니다

00:03:51.880 --> 00:03:54.630
그리고 우리는 두 변의 길이가 같으면

00:03:54.630 --> 00:03:57.290
두 밑각 또한 같다는 사실을 알고 있습니다

00:03:57.290 --> 00:04:00.640
그래서 이 각도 𝜓와 같습니다

00:04:00.640 --> 00:04:02.130
삼각형이 이렇게 기울어져 있어서

00:04:02.130 --> 00:04:03.180
알아채지 못할 수도 있습니다

00:04:03.180 --> 00:04:05.720
하지만 저는 여러분들 대부분이 이런 삼각형을 볼 때

00:04:05.720 --> 00:04:10.940
제가 이 변도 반지름이고, 저 변도 반지름이라고 말해서

00:04:10.940 --> 00:04:17.860
이 두 변이 같다는 것을 알고,
이 각은 𝜓라는 것을 알면

00:04:17.860 --> 00:04:20.830
이 각 또한 𝜓라는 것을 알 수 있을 것이라고 생각합니다

00:04:20.830 --> 00:04:23.930
이등변삼각형의 두 밑각은 크기가 같습니다

00:04:23.930 --> 00:04:26.720
그래서 이 각이 𝜓이면 저 각도 𝜓입니다

00:04:26.720 --> 00:04:29.770
이제 중심각을 봅시다

00:04:29.770 --> 00:04:32.710
이 각이 같은 호를 공유하는 중심각입니다

00:04:32.710 --> 00:04:35.920
두 각이 공유하고 있는 호를 색칠하겠습니다

00:04:35.920 --> 00:04:40.300
이것이 두 각이 공유하고 있는 호입니다

00:04:40.300 --> 00:04:44.350
그러면 이 각이 중심각이 될 것이고,
𝛳라고 해 봅시다

00:04:44.350 --> 00:04:49.000
이 각이 𝛳라면 이 각은 무엇일까요?

00:04:49.000 --> 00:04:50.620
여기 있는 이 각 말입니다

00:04:50.620 --> 00:04:53.010
이것은 𝛳의 보각입니다

00:04:53.010 --> 00:04:56.640
즉 180°에서 𝛳를 뺀 값입니다

00:04:56.640 --> 00:04:59.560
두 각을 더해서 180°가 된다면

00:04:59.560 --> 00:05:01.750
혹은 두 각이 직선을 만든다면

00:05:01.750 --> 00:05:03.790
그 두 각은 보각 관계에 있습니다

00:05:03.790 --> 00:05:06.740
또한 우리는 이 세 각이

00:05:06.740 --> 00:05:08.260
같은 삼각형 안에 위치한 것을 알 수 있습니다

00:05:08.260 --> 00:05:12.030
그래서 이 각들의 합은 180°가 되어야 합니다

00:05:12.030 --> 00:05:19.300
그럼 𝜓를 구할 수 있는 것이,
이 𝜓와 이 𝜓를 더하고

00:05:19.300 --> 00:05:25.420
180°-𝛳인 이 각을 더하면

00:05:25.420 --> 00:05:29.130
이 세 각의 합은 반드시 180°입니다

00:05:29.130 --> 00:05:31.740
삼각형의 세 각이기 때문입니다

00:05:31.740 --> 00:05:34.605
양 쪽의 180은 소거시킬 수 있습니다

00:05:37.140 --> 00:05:43.260
그러면 𝜓+𝜓-𝛳 가 0이 됩니다

00:05:43.260 --> 00:05:44.840
양변에 𝛳를 더합시다

00:05:44.840 --> 00:05:48.770
2𝜓는 𝛳와 같다는 결과를 얻을 수 있습니다

00:05:48.770 --> 00:05:52.850
양변에 2분의 1을 곱하거나 2로 나누어 보세요

00:05:52.850 --> 00:05:56.680
그럼 𝜓는 𝛳의 2분의 1이라는 것을 알게 될 것입니다

00:05:56.680 --> 00:06:00.070
여기까지 우리는 증명을 쉽게 하기 위해
원주각을 특수한 상황에서 설정하고

00:06:00.070 --> 00:06:07.120
그 상황에 대해서 원주각의 성질을 증명했습니다

00:06:07.120 --> 00:06:11.200
이 때 이 직선 중 하나가,
이 선을 직선으로 본다면,

00:06:11.200 --> 00:06:15.220
원주각을 정의하는 이 직선 중 하나가

00:06:15.220 --> 00:06:17.180
지름을 포함하도록 정의했습니다

00:06:17.180 --> 00:06:19.200
지름이 이 직선의 일부인 것이죠

00:06:19.200 --> 00:06:21.720
따라서 이 경우는 각의 한 변이 지름 위에 있는

00:06:21.720 --> 00:06:23.760
특수한 상황입니다

00:06:23.760 --> 00:06:27.660
그럼 일반화시킬 수 있겠네요

00:06:27.660 --> 00:06:30.580
이제 우리는 이 각이 50°라면

00:06:30.580 --> 00:06:32.820
이 각은 100°가 된다는 것은 압니다

00:06:32.820 --> 00:06:37.460
𝜓가 무엇이든, 또는 𝛳가 무엇이든
𝜓는 𝛳의 2분의 1이 될 것이고,

00:06:37.460 --> 00:06:40.450
뿐만 아니라 𝜓가 무엇이든 간에

00:06:40.450 --> 00:06:41.830
𝛳는 𝜓의 2배일 것입니다

00:06:41.830 --> 00:06:44.110
그리고 이제 이 성질은 언제나 적용할 수 있습니다

00:06:44.110 --> 00:06:55.440
이 개념은 언제든지 적용할 수 있습니다

00:06:55.440 --> 00:06:59.460
그리고 방금 얻은 결과를 적용해서
이제는 좀 더 일반화시킬 수도 있습니다

00:06:59.460 --> 00:07:02.890
모든 원주각에 적용되지는 않는다고 해도 말입니다

00:07:02.890 --> 00:07:05.090
이렇게 생긴 내접각이 있다고 합시다

00:07:10.680 --> 00:07:12.980
이 상황에서는 원의 중심이 원주각의

00:07:12.980 --> 00:07:15.470
안쪽에 위치해 있습니다

00:07:15.470 --> 00:07:17.150
이것이 원주각입니다

00:07:17.150 --> 00:07:18.890
그리고 저는 같은 호를 공유하는

00:07:18.890 --> 00:07:22.450
이 원주각과 중심각 사이의 관계를

00:07:22.450 --> 00:07:24.360
찾으려고 합니다

00:07:24.360 --> 00:07:29.880
이 각이 같은 호를 가지는 중심각입니다

00:07:29.880 --> 00:07:33.550
그런데, 이 각을 정의하는 꼭지점이나 현 중에는

00:07:33.550 --> 00:07:37.310
지름을 포함하는 것이 없습니다

00:07:37.310 --> 00:07:40.400
하지만 우리는 지름을 그릴 수는 있습니다

00:07:40.400 --> 00:07:43.300
원의 중심이 두 현 사이에 있으면

00:07:43.300 --> 00:07:46.100
지름을 그릴 수 있습니다

00:07:46.100 --> 00:07:48.920
바로 이렇게 지름을 그릴 수 있습니다

00:07:48.920 --> 00:07:51.680
만약 이렇게 지름을 그리고 나서

00:07:51.680 --> 00:07:55.430
이 각을 𝜓₁, 이 각을 𝜓₂라고 정의하면

00:07:55.430 --> 00:07:58.320
𝜓는 이 두 각을 더한 값과 같습니다

00:07:58.320 --> 00:08:04.350
또 이 각을 𝛳₁이라고 하고, 이 각을 𝛳₂라고 합시다

00:08:04.350 --> 00:08:07.240
그럼 아까의 결과를 통해 바로 알 수 있는 것이 있습니다

00:08:07.240 --> 00:08:12.540
이제는 이 두 각 모두 한쪽 변이 지름이기 때문에

00:08:12.540 --> 00:08:18.260
𝜓₁은 𝛳₁의 2분의 1이라는 것을

00:08:18.260 --> 00:08:22.010
알 수 있습니다

00:08:22.010 --> 00:08:24.870
그리고 𝜓₂는 𝛳₂의 2분의 1이라는 것도 알 수 있습니다

00:08:24.870 --> 00:08:30.140
𝜓₂는 𝛳₂의 2분의 1입니다

00:08:30.140 --> 00:08:39.850
따라서 𝜓는, 𝜓₁과 𝜓₂를 더한 값이므로

00:08:39.850 --> 00:08:41.120
이 두 개의 합과 같을 것입니다

00:08:41.120 --> 00:08:47.580
𝛳₁의 2분의 1과 𝛳₂의 2분의 1을 더한 값이죠

00:08:47.580 --> 00:08:51.180
𝜓₁ 더하기 𝜓₂, 이것은 우리가 알고자 하는

00:08:51.180 --> 00:08:53.850
처음 원주각인 𝜓와 같습니다

00:08:53.850 --> 00:08:54.980
이게 𝜓이고

00:08:54.980 --> 00:08:58.350
그리고 여기 이건 𝛳₁과 𝛳₂를 더한 값의

00:08:58.350 --> 00:09:00.960
2분의 1과 같습니다

00:09:00.960 --> 00:09:03.960
그럼 𝛳₁ 더하기 𝛳₂는 무엇인가요?

00:09:03.960 --> 00:09:06.470
이것도 처음에 설정한 원래 𝛳값과

00:09:06.470 --> 00:09:08.490
같을 것입니다

00:09:08.490 --> 00:09:12.080
그러면 이제 𝜓가 𝛳의 2분의 1이라는 것을 알 수 있습니다

00:09:12.080 --> 00:09:14.710
이제 우리는 원의 중심이 원주각을 정의하는

00:09:14.710 --> 00:09:20.020
두 직선 사이에 있는 상황을 가정하여
좀 더 일반적인 경우에 대하여

00:09:20.020 --> 00:09:21.640
증명을 마쳤습니다

00:09:21.640 --> 00:09:27.100
아직 우리는 좀 더 어려운 경우나

00:09:27.100 --> 00:09:33.660
더 일반적인 상황은 다루지 않았습니다
예를 들어 이것이 원의 중심이고

00:09:33.660 --> 00:09:39.420
이 중심이 원주각의 두 현 사이에 위치하지 않는

00:09:39.420 --> 00:09:40.990
상황을 생각해 보세요

00:09:40.990 --> 00:09:41.820
이 상황을 그려보겠습니다

00:09:41.820 --> 00:09:48.800
그럼 이것이 꼭지점이 될 것이고, 
--색깔을 바꾸겠습니다--

00:09:48.800 --> 00:09:51.540
이것은 각을 정의하는 현 중의 하나라고 합시다

00:09:51.540 --> 00:09:53.320
이렇게 말이죠

00:09:53.320 --> 00:09:57.860
그리고 이것이 각을 정의하는

00:09:57.860 --> 00:09:59.170
다른 현이라고 합시다

00:09:59.170 --> 00:10:02.500
그러면 어떻게 이들의 관계를 찾을 수 있을까요?

00:10:02.500 --> 00:10:07.910
여기 있는 이 각을 𝜓₁이라고 부르기로 합시다

00:10:07.910 --> 00:10:13.050
𝜓₁과 같은 호를 공유하는 중심각과의 관계는

00:10:13.050 --> 00:10:16.160
어떻게 찾아야 할까요?

00:10:16.160 --> 00:10:19.530
제가 같은 호라고 얘기하는 것은 
여기 있는 이 호를 말하는 것입니다

00:10:19.530 --> 00:10:22.720
그러면 같은 호를 가지는 중심각은

00:10:22.720 --> 00:10:23.660
이렇게 생겼을 것입니다

00:10:28.150 --> 00:10:32.910
이것을 𝛳₁이라고 합시다

00:10:32.910 --> 00:10:36.770
우리가 할 수 있는 것은 방금 전에 배운 
원주각의 한 현이

00:10:36.770 --> 00:10:39.350
지름일 경우를 사용하는 것입니다

00:10:39.350 --> 00:10:41.135
한 번 사용해 봅시다

00:10:41.135 --> 00:10:44.260
여기에 지름을 그리겠습니다

00:10:44.260 --> 00:10:47.010
증명할 결과는 이 각이 이 각의 2분의 1이라는 것입니다

00:10:47.010 --> 00:10:48.180
증명해 봅시다

00:10:48.180 --> 00:10:57.560
이렇게 지름을 그려 봅시다

00:10:57.560 --> 00:11:09.490
이 각을 𝜓₂라고 부릅시다

00:11:09.490 --> 00:11:14.770
그리고 이 각은 여기 있는 이 호에 대응하네요

00:11:14.770 --> 00:11:16.140
좀더 어두운 색깔로 하겠습니다

00:11:16.140 --> 00:11:19.770
이 각은 바로 이 호에 대응합니다

00:11:19.770 --> 00:11:22.360
그리고서 이 호를 같이 가지는 중심각을

00:11:22.360 --> 00:11:25.300
𝛳₂라고 부릅시다

00:11:25.300 --> 00:11:30.890
이제 우리는 강의의 앞 부분에서 배웠듯이

00:11:30.890 --> 00:11:37.600
𝜓₂가 𝛳₂의 2분의 1이라는 것을 압니다, 맞죠?

00:11:37.600 --> 00:11:40.760
이 각들은 여기 있는 이 지름을 공유합니다

00:11:40.760 --> 00:11:44.300
그리고 이 지름은 각을 형성하는 현 중에 하나입니다

00:11:44.300 --> 00:11:47.500
따라서 𝜓₂는 𝛳₂의 2분의 1과 같습니다

00:11:50.140 --> 00:11:52.810
이게 바로 저번 강의에서 한 내용입니다

00:11:52.810 --> 00:11:55.430
이 각이 원주각이고

00:11:55.430 --> 00:11:59.550
현 중의 하나가 지름 위에 있으니까

00:11:59.550 --> 00:12:02.740
이 각, 즉 같은 호를 가지는 중심각의

00:12:02.740 --> 00:12:05.980
2분의 1이 되는 것입니다

00:12:05.980 --> 00:12:09.000
이제 더 큰각을 봅시다

00:12:09.000 --> 00:12:11.680
여기 있는 이 각을 말하는 겁니다

00:12:11.680 --> 00:12:14.240
𝜓₁ 더하기 𝜓₂

00:12:14.240 --> 00:12:22.720
그렇죠, 이 큰 각은 𝜓₁ 더하기 𝜓₂입니다

00:12:22.720 --> 00:12:28.680
다시 한 번, 이 각은 여기 있는 현 전체를 가지고

00:12:28.680 --> 00:12:32.100
그리고 이 큰 각을 정의하는 현 중 하나가

00:12:32.100 --> 00:12:34.310
지름을 포함합니다

00:12:34.310 --> 00:12:37.380
그래서 이 각은 같은 호를 가지는 중심각의

00:12:37.380 --> 00:12:38.580
2분의 1이 될 것입니다

00:12:38.580 --> 00:12:42.270
우리는 우리가 전에 이미 증명한 내용을 
그저 사용만 하고 있습니다

00:12:42.270 --> 00:12:47.390
그러니까 이 각은 𝛳₁과 𝛳₂를 더한 것인 이 큰 중심각의

00:12:47.390 --> 00:12:51.370
2분의 1과 같습니다

00:12:54.310 --> 00:12:56.530
그럼 이제 이 강의에서 배웠던 모든 것들을

00:12:56.530 --> 00:12:58.160
다 사용해 봅시다

00:12:58.160 --> 00:13:03.160
우리는 이미 𝜓₂가 𝛳₂의 2분의 1과 같다는 것을 압니다

00:13:03.160 --> 00:13:05.630
그럼 이걸 여기 대입해 보겠습니다

00:13:05.630 --> 00:13:07.030
이것은 저것과 동일합니다

00:13:07.030 --> 00:13:15.330
그러면 𝜓₁ 더하기 제가 𝜓₂라고 적은 것 대신에

00:13:15.330 --> 00:13:26.630
𝛳₂의 2분의 1을 한 것이
𝛳₁의 2분의 1 더하기 𝛳₂의 2분의 1과 같습니다

00:13:30.340 --> 00:13:34.020
양변에서 𝛳₂의 2분의 1을 소거할 수 있고

00:13:34.020 --> 00:13:35.740
이제 결과를 얻었습니다

00:13:35.740 --> 00:13:40.900
𝜓₁은 𝛳₁의 2분의 1과 같습니다

00:13:40.900 --> 00:13:41.970
그럼 이제 끝났습니다

00:13:41.970 --> 00:13:44.990
우리는 원주각이 항상 같은 호를 가지는

00:13:44.990 --> 00:13:50.680
중심각의 2분의1이라는 관계를 증명했습니다

00:13:50.680 --> 00:13:53.980
이것은 원의 중심이 각의 내부에 있든지 외부에 있든지,

00:13:53.980 --> 00:13:58.990
각의 한 현이 지름 위에 위치하든지 아니든지

00:13:58.990 --> 00:14:00.950
관계 없이 성립합니다

00:14:00.950 --> 00:14:05.860
그래서 어떤 다른 각도 우리가 지금 한 상황들 중에

00:14:05.860 --> 00:14:08.300
맞춰서 적용할 수 있을 것입니다

00:14:08.300 --> 00:14:10.190
여러분들이 이 관계가 유용하다는 것을 알기 바랍니다

00:14:10.190 --> 00:14:14.630
그리고 이제 이 결과를 이용해서 더 흥미로운

00:14:14.630 --> 00:14:16.460
기하학적 증명을 할 수 있을 것입니다