I den her video skal vi bevise en af de mere brugbare ting i geometri. Det er, at en indskreven vinkel er en vinkel, hvis vinkelspids er på en cirkel. Det er vores indskrevne vinkel. Vi kalder den psi. Vi bruger psi for indskrevne vinkler i den her video. Psi er præcis en halv af den centervinkel, der ligger overfor den samme cirkelbue. Vi har lige brugt en masse fine ord, men man burde have hørt dem før. Det her er psi. Det er en indskrevet vinkel. Dens vinkelspids er på cirklen. Når vi tegner de 2 halvlinjer, der går ud fra vinklen - det er de 2 korder, der definerer vinklen - skærer de cirklen i den anden ende. Hvis vi kigger på den del af cirklen, der er indenfor, er det den cirkelbue, der ligger lige overfor psi. Det er nogle komplicerede ord, men selve idéen er simpel. Det her er cirkelbuen, der ligger lige overfor psi. Psi er den indskrevne vinkel her. Vinkelspidsen er på cirklen. En centervinkel er en vinkel, hvor vinkelspidsen er i cirklens centrum. Det her ser ud til at være cirklens centrum. Vi finder det på øjemål. Lad os tegne en centervinkel, der ligger overfor den samme cirkelbue. Det ligner en centervinkel. Sådan. Den kalder vi theta. Den her vinkel er psi, og den her vinkel er theta. I den her video skal vi bevise, at psi altid er lig med det halve af theta. Hvis psi for eksempel er lig med 25 grader, ved vi med det samme, at theta er lig med 50 grader. Hvis theta for eksempel er 80 grader, ved vi, at psi er 40 grader. Lad os bevise det. Vi fjerner lige det her. Et godt sted at begynde er med et særligt tilfælde. Vi tegner en indskreven vinkel, hvor en af korderne også er diameteren i cirklen. Det her er altså ikke generelt, men et særligt tilfælde. Det her er centrum i cirklen. Vi finder det på øjemål. Cirka her. Lad os tegne diameteren. Den er her. Lad os nu definere den indskrevne vinkel. Diameteren her er den ene side. Den anden side ser måske sådan her ud. Vi kalder vinklen psi. Hvis det her er psi, er det her radius i vores cirkel. Den her længde er radius i cirklen. Cirklens omkreds er defineret af alle de punkter, der er præcis en radius væk fra centrum. Det her er også en radius. Trekanten er en ligesidet trekant. Den har 2 sider, der er lige lange. De 2 sider er præcis lige lange. Vi ved, at når der er 2 sider, der er ens, er grundvinklerne også ens. Den her er altså også lig med psi. Det kan godt være, at det ikke er helt tydeligt, fordi den er skæv. Når vi kigger på sådan en trekant her, og det her er r, og det her er r, altså at de her 2 sider er ens, og det her er psi, ved vi, at den her vinkel også er psi. Grundvinkler en ens i en ligebenet trekant. Det her er psi, og det her er psi. Lad os nu kigge på centervinklen. Det er centervinklen, der ligger overfor den samme cirkelbue. Lad os markere cirkelbuen, de begge ligger overfor. Det her er den pågældende cirkelbue. Her er centervinklen theta. Hvis det her er theta, hvad er den her vinkel så? Den vinkel er supplementær til theta, så den er 180 minus theta. Når vi lægger de 2 vinkler sammen, giver de 180 grader. De danner nærmest en linje. De er supplementære. Nu ved vi også, at de her 3 vinkler er i den samme trekant. Derfor giver de sammenlagt 180 grader. Den her psi plus psi plus den her vinkel, som er 180 minus theta. De 3 vinkler giver sammenlagt 180 grader. Det er de 3 vinkler i en trekant. Nu kan vi trække 180 fra begge sider. Psi plus psi er 2psi minus theta er lig med 0. Vi lægger theta til begge sider. Vi får, at 2 psi er lig med theta. Vi ganger begge sider med 1/2 eller dividerer begge sider med 2. Vi får, at psi er lig med en halv theta. Vi har nu bevist, hvad vi ville bevise i det her særlige tilfælde, hvor en af de halvlinjer, der definerer den indskrevne vinkel, er langs diameteren. Diameteren er en del af den halvlinje. Det er altså et særligt tilfælde, hvor den ene halvlinje er på diameteren. Vi kan allerede generalisere vores viden. Vi ved nu, at hvis den her er 50, er den her 100 og omvendt. Ligemeget hvad psi eller theta er, er psi halvdelen af theta. Theta er altid det dobbelte af psi. Ved at bruge det resultat, vi er kommet frem til, kan vi generalisere en smule. Det gælder dog ikke for alle indskrevne vinkler. Lad os tegne sådan en indskreven vinkel her. I den her situation kan vi betragte centrum som om, det er inde i vinklen. Det her er den indskrevne vinkel. Vi vil gerne finde et forhold mellem den indskrevne vinkel og centervinklen, der ligger lige overfor den samme cirkelbue. Det her er centervinklen, der ligger overfor den samme cirkelbue. Ingen af de her korder definerer den her vinkel. Det gør de her diametre heller ikke. Vi kan tegne en diameter. Hvis centrum er indenfor de 2 korder, kan vi tegne en diameter. Sådan. Når vi tegner diameteren sådan her, kan vi definere den her vinkel som psi 1 og den her som psi 2. Psi er summen af de 2 vinkler. Vi kalder den her vinkel for theta 1 og den her for theta 2. Ud fra de resultater, vi har fået, ved vi, at psi 1 er lig med en halv theta 1. Vi ved også, at psi 2 er lig med en halv theta 2. Psi, som er psi 1 plus psi 2, er lig med de her 2 ting. En halv theta 1 plus en halv theta 2. Psi 1 plus psi 2 er lig med den første indskrevne vinkel, som er psi. Det her er psi. Det her er lig med en halv gange theta 1 plus theta 2. Hvad er theta 1 plus theta 2? Det er vores originale theta, som vi lagde ud med. Nu ser vi, at psi er lig med en halv theta. Nu har vi bevist det på en lidt mere generel måde, hvor vores centrum er inden for de 2 halvlinjer, der definerer vores vinkel. Nu har stadig ikke kigget på en sværere situation eller en mere generel situation, hvor centrum i cirklen ikke er inden for de 2 korder. Lad os tegne sådan en situation. Det her er vores vinkelspids. Det her er en af korderne, der definerer vinklen. Det her er den anden korde, så vinklen defineres sådan her. Lad os kalde den her vinkel for psi 1. Hvordan finder vi forholdet mellem psi 1 og den centervinkel, der ligger lige overfor den samme cirkelbue? Det er den her cirkelbue. Den centervinkel, der ligger lige overfor den samme cirkelbue, ser sådan her ud. Den kalder vi theta 1. Vi kan bruge det, vi lige har lært, når den ene side i vores indskrevne vinkel er en diameter. Lad os tegne en diameter her. Vi skal stadig gerne komme frem til, at den her er det halve af den her. Diameteren er her. Vi kalder den her vinkel for psi 2. Den ligger over den her cirkelbue. Den her. Centervinklen, der ligger overfor den samme cirkelbue, kalder vi theta 2. Vi ved fra tidligere, at psi 2 er lig med en halv theta 2. De deler den her diameter. Diameteren her er den ene af de 2 korder, der danner vinklen. Psi 2 er lig med en halv theta 2. Det er præcis det, vi gjorde i den sidste video. Det her er en indskreven vinkel. En af de definerende korder ligger på diameteren. Den her er det halve af centervinklen, der ligger overfor den samme cirkelbue. Lad os nu kigge på den store vinkel. Det er den her. Psi 1 plus psi 2. Den store vinkel er psi 1 plus psi 2. Den her ligger overfor den samme cirkelbue. Diameteren er den ene af de 2 korder, der definerer den her kæmpe vinkel. Den her er det halve af den centervinkel, der ligger overfor den samme cirkelbue. Vi bruger det, vi allerede har vist i videoen. Den her er lig med det halve af den kæmpe centervinkel, der er theta 1 plus theta 2. Indtil videre har vi kun brugt de ting, vi allerede har lært i den her video. Vi ved allerede, at psi 2 er lig med en halv theta 2. Lad os nu substituere. Den her er lig med den her. I stedet for psi 2 skriver vi en halv theta 2. Psi 1 plus en halv theta 2 er lig med en halv theta 1 plus en halv theta 2. Vi kan nu trække en halv theta 2 fra begge sider. Her er vores resultat. Psi 1 er lig med en halv theta 1. Nu er vi færdige. Vi har bevist, at den indskrevne vinkel altid er halvt så stor som den centervinkel, der ligger overfor den samme bue. Det er ligegyldigt, om centrum i cirklen er inden for vinklen, uden for vinklen eller om diameteren er den ene af vinkelkorderne. Enhver anden vinkel kan altså konstrueres som en sum af enhver af dem eller alle dem, vi lige har lavet. Forhåbentlig var den nye viden brugbar, og vi kan faktisk bygge videre på de her ting for at lave nye geometribeviser.