1
00:00:00,690 --> 00:00:03,450
I den her video skal vi bevise

2
00:00:03,450 --> 00:00:08,980
en af de mere brugbare ting i geometri.

3
00:00:08,980 --> 00:00:14,950
Det er, at en indskreven vinkel er en vinkel,

4
00:00:14,950 --> 00:00:17,080
hvis vinkelspids er på en cirkel.

5
00:00:17,080 --> 00:00:19,800
Det er vores indskrevne vinkel.

6
00:00:19,800 --> 00:00:24,950
Vi kalder den psi.

7
00:00:24,950 --> 00:00:27,170
Vi bruger psi for indskrevne vinkler i den her video.

8
00:00:27,170 --> 00:00:33,530
Psi er præcis en halv af den centervinkel,

9
00:00:33,530 --> 00:00:37,880
der ligger overfor den samme cirkelbue.

10
00:00:37,880 --> 00:00:40,730
Vi har lige brugt en masse fine ord,

11
00:00:40,730 --> 00:00:41,650
men man burde have hørt dem før.

12
00:00:41,650 --> 00:00:42,820
Det her er psi.

13
00:00:42,820 --> 00:00:44,470
Det er en indskrevet vinkel.

14
00:00:44,470 --> 00:00:48,710
Dens vinkelspids er på cirklen.

15
00:00:48,710 --> 00:00:52,570
Når vi tegner de 2 halvlinjer, der går ud fra vinklen -

16
00:00:52,570 --> 00:00:56,040
det er de 2 korder, der definerer vinklen -

17
00:00:56,040 --> 00:00:57,340
skærer de cirklen i den anden ende.

18
00:00:57,340 --> 00:01:00,390
Hvis vi kigger på den del af cirklen,

19
00:01:00,390 --> 00:01:03,730
der er indenfor,

20
00:01:03,730 --> 00:01:06,160
er det den cirkelbue, der ligger lige overfor psi.

21
00:01:06,160 --> 00:01:09,010
Det er nogle komplicerede ord,

22
00:01:09,010 --> 00:01:09,920
men selve idéen er simpel.

23
00:01:09,920 --> 00:01:28,485
Det her er cirkelbuen, der ligger lige overfor psi.

24
00:01:28,485 --> 00:01:31,560
Psi er den indskrevne vinkel her.

25
00:01:31,560 --> 00:01:32,400
Vinkelspidsen er på cirklen.

26
00:01:32,400 --> 00:01:37,920
En centervinkel er en vinkel,

27
00:01:37,920 --> 00:01:39,460
hvor vinkelspidsen er i cirklens centrum.

28
00:01:39,460 --> 00:01:41,880
Det her ser ud til at være cirklens centrum.

29
00:01:41,880 --> 00:01:45,510
Vi finder det på øjemål.

30
00:01:45,510 --> 00:01:51,360
Lad os tegne en centervinkel, der ligger overfor den samme cirkelbue.

31
00:01:51,360 --> 00:01:58,470
Det ligner en centervinkel.

32
00:01:58,470 --> 00:01:59,390
Sådan.

33
00:01:59,390 --> 00:02:01,440
Den kalder vi theta.

34
00:02:01,440 --> 00:02:06,030
Den her vinkel er psi, og den her vinkel er theta.

35
00:02:06,030 --> 00:02:10,120
I den her video skal vi bevise,

36
00:02:10,120 --> 00:02:14,050
at psi altid er lig med det halve af theta.

37
00:02:14,050 --> 00:02:18,220
Hvis psi for eksempel er lig med 25 grader,

38
00:02:18,220 --> 00:02:21,330
ved vi med det samme,

39
00:02:21,330 --> 00:02:23,090
at theta er lig med 50 grader.

40
00:02:23,090 --> 00:02:26,080
Hvis theta for eksempel er 80 grader,

41
00:02:26,080 --> 00:02:29,300
ved vi, at psi er 40 grader.

42
00:02:29,300 --> 00:02:31,500
Lad os bevise det.

43
00:02:31,500 --> 00:02:34,520
Vi fjerner lige det her.

44
00:02:34,520 --> 00:02:37,730
Et godt sted at begynde

45
00:02:37,730 --> 00:02:40,460
er med et særligt tilfælde.

46
00:02:40,460 --> 00:02:45,250
Vi tegner en indskreven vinkel,

47
00:02:45,250 --> 00:02:47,910
hvor en af korderne også er diameteren i cirklen.

48
00:02:47,910 --> 00:02:50,526
Det her er altså ikke generelt,

49
00:02:50,526 --> 00:02:51,320
men et særligt tilfælde.

50
00:02:51,320 --> 00:02:55,325
Det her er centrum i cirklen.

51
00:02:55,325 --> 00:02:59,030
Vi finder det på øjemål.

52
00:02:59,030 --> 00:03:00,770
Cirka her.

53
00:03:00,770 --> 00:03:04,210
Lad os tegne diameteren.

54
00:03:04,210 --> 00:03:06,440
Den er her.

55
00:03:06,440 --> 00:03:09,410
Lad os nu definere den indskrevne vinkel.

56
00:03:09,410 --> 00:03:11,860
Diameteren her er den ene side.

57
00:03:11,860 --> 00:03:15,910
Den anden side ser måske sådan her ud.

58
00:03:15,910 --> 00:03:20,520
Vi kalder vinklen psi.

59
00:03:20,520 --> 00:03:27,120
Hvis det her er psi,

60
00:03:27,120 --> 00:03:29,330
er det her radius i vores cirkel.

61
00:03:29,330 --> 00:03:33,080
Den her længde er radius i cirklen.

62
00:03:35,760 --> 00:03:38,130
Cirklens omkreds er defineret af alle de punkter,

63
00:03:38,130 --> 00:03:40,340
der er præcis en radius væk fra centrum.

64
00:03:40,340 --> 00:03:43,610
Det her er også en radius.

65
00:03:43,610 --> 00:03:47,920
Trekanten er en ligesidet trekant.

66
00:03:47,920 --> 00:03:49,890
Den har 2 sider, der er lige lange.

67
00:03:49,890 --> 00:03:51,880
De 2 sider er præcis lige lange.

68
00:03:51,880 --> 00:03:54,630
Vi ved, at når der er 2 sider, der er ens,

69
00:03:54,630 --> 00:03:57,290
er grundvinklerne også ens.

70
00:03:57,290 --> 00:04:00,640
Den her er altså også lig med psi.

71
00:04:00,640 --> 00:04:02,130
Det kan godt være, at det ikke er helt tydeligt,

72
00:04:02,130 --> 00:04:03,180
fordi den er skæv.

73
00:04:03,180 --> 00:04:05,720
Når vi kigger på sådan en trekant her,

74
00:04:05,720 --> 00:04:10,940
og det her er r, og det her er r,

75
00:04:10,940 --> 00:04:17,860
altså at de her 2 sider er ens, og det her er psi,

76
00:04:17,860 --> 00:04:20,830
ved vi, at den her vinkel også er psi.

77
00:04:20,830 --> 00:04:23,930
Grundvinkler en ens i en ligebenet trekant.

78
00:04:23,930 --> 00:04:26,720
Det her er psi, og det her er psi.

79
00:04:26,720 --> 00:04:29,770
Lad os nu kigge på centervinklen.

80
00:04:29,770 --> 00:04:32,710
Det er centervinklen, der ligger overfor den samme cirkelbue.

81
00:04:32,710 --> 00:04:35,920
Lad os markere cirkelbuen, de begge ligger overfor.

82
00:04:35,920 --> 00:04:40,300
Det her er den pågældende cirkelbue.

83
00:04:40,300 --> 00:04:44,350
Her er centervinklen theta.

84
00:04:44,350 --> 00:04:49,000
Hvis det her er theta, hvad er den her vinkel så?

85
00:04:50,620 --> 00:04:53,010
Den vinkel er supplementær til theta,

86
00:04:53,010 --> 00:04:56,640
så den er 180 minus theta.

87
00:04:56,640 --> 00:04:59,560
Når vi lægger de 2 vinkler sammen, giver de 180 grader.

88
00:04:59,560 --> 00:05:01,750
De danner nærmest en linje.

89
00:05:01,750 --> 00:05:03,790
De er supplementære.

90
00:05:03,790 --> 00:05:06,740
Nu ved vi også,

91
00:05:06,740 --> 00:05:08,260
at de her 3 vinkler er i den samme trekant.

92
00:05:08,260 --> 00:05:12,030
Derfor giver de sammenlagt 180 grader.

93
00:05:12,030 --> 00:05:19,300
Den her psi plus psi plus den her vinkel,

94
00:05:19,300 --> 00:05:25,420
som er 180 minus theta.

95
00:05:25,420 --> 00:05:29,130
De 3 vinkler giver sammenlagt 180 grader.

96
00:05:29,130 --> 00:05:31,740
Det er de 3 vinkler i en trekant.

97
00:05:31,740 --> 00:05:34,605
Nu kan vi trække 180 fra begge sider.

98
00:05:37,140 --> 00:05:43,260
Psi plus psi er 2psi minus theta er lig med 0.

99
00:05:43,260 --> 00:05:44,840
Vi lægger theta til begge sider.

100
00:05:44,840 --> 00:05:48,770
Vi får, at 2 psi er lig med theta.

101
00:05:48,770 --> 00:05:52,850
Vi ganger begge sider med 1/2 eller dividerer begge sider med 2.

102
00:05:52,850 --> 00:05:56,680
Vi får, at psi er lig med en halv theta.

103
00:05:56,680 --> 00:06:00,070
Vi har nu bevist, hvad vi ville bevise

104
00:06:00,070 --> 00:06:07,120
i det her særlige tilfælde,

105
00:06:07,120 --> 00:06:11,200
hvor en af de halvlinjer,

106
00:06:11,200 --> 00:06:15,220
der definerer den indskrevne vinkel,

107
00:06:15,220 --> 00:06:17,180
er langs diameteren.

108
00:06:17,180 --> 00:06:19,200
Diameteren er en del af den halvlinje.

109
00:06:19,200 --> 00:06:21,720
Det er altså et særligt tilfælde,

110
00:06:21,720 --> 00:06:23,760
hvor den ene halvlinje er på diameteren.

111
00:06:23,760 --> 00:06:27,660
Vi kan allerede generalisere vores viden.

112
00:06:27,660 --> 00:06:30,580
Vi ved nu, at hvis den her er 50,

113
00:06:30,580 --> 00:06:32,820
er den her 100 og omvendt.

114
00:06:32,820 --> 00:06:37,460
Ligemeget hvad psi eller theta er,

115
00:06:37,460 --> 00:06:40,450
er psi halvdelen af theta.

116
00:06:40,450 --> 00:06:41,830
Theta er altid det dobbelte af psi.

117
00:06:44,110 --> 00:06:55,440
Ved at bruge det resultat, vi er kommet frem til,

118
00:06:55,440 --> 00:06:59,460
kan vi generalisere en smule.

119
00:06:59,460 --> 00:07:02,890
Det gælder dog ikke for alle indskrevne vinkler.

120
00:07:02,890 --> 00:07:05,090
Lad os tegne sådan en indskreven vinkel her.

121
00:07:10,680 --> 00:07:12,980
I den her situation kan

122
00:07:12,980 --> 00:07:15,470
vi betragte centrum som om, det er inde i vinklen.

123
00:07:15,470 --> 00:07:17,150
Det her er den indskrevne vinkel.

124
00:07:17,150 --> 00:07:18,890
Vi vil gerne finde et forhold

125
00:07:18,890 --> 00:07:22,450
mellem den indskrevne vinkel og centervinklen,

126
00:07:22,450 --> 00:07:24,360
der ligger lige overfor den samme cirkelbue.

127
00:07:24,360 --> 00:07:29,880
Det her er centervinklen, der ligger overfor den samme cirkelbue.

128
00:07:29,880 --> 00:07:33,550
Ingen af de her korder definerer den her vinkel.

129
00:07:33,550 --> 00:07:37,310
Det gør de her diametre heller ikke.

130
00:07:37,310 --> 00:07:40,400
Vi kan tegne en diameter.

131
00:07:40,400 --> 00:07:43,300
Hvis centrum er indenfor de 2 korder,

132
00:07:43,300 --> 00:07:46,100
kan vi tegne en diameter.

133
00:07:46,100 --> 00:07:48,920
Sådan.

134
00:07:48,920 --> 00:07:51,680
Når vi tegner diameteren sådan her,

135
00:07:51,680 --> 00:07:55,430
kan vi definere den her vinkel som psi 1 og den her som psi 2.

136
00:07:55,430 --> 00:07:58,320
Psi er summen af de 2 vinkler.

137
00:07:58,320 --> 00:08:04,350
Vi kalder den her vinkel for theta 1 og den her for theta 2.

138
00:08:04,350 --> 00:08:07,240
Ud fra de resultater, vi har fået,

139
00:08:07,240 --> 00:08:12,540
ved vi,

140
00:08:12,540 --> 00:08:18,260
at psi 1 er lig

141
00:08:18,260 --> 00:08:22,010
med en halv theta 1.

142
00:08:22,010 --> 00:08:24,870
Vi ved også, at psi 2 er lig med en halv theta 2.

143
00:08:30,140 --> 00:08:39,850
Psi, som er psi 1 plus psi 2,

144
00:08:39,850 --> 00:08:41,120
er lig med de her 2 ting.

145
00:08:41,120 --> 00:08:47,580
En halv theta 1 plus en halv theta 2.

146
00:08:47,580 --> 00:08:51,180
Psi 1 plus psi 2 er

147
00:08:51,180 --> 00:08:53,850
lig med den første indskrevne vinkel, som er psi.

148
00:08:53,850 --> 00:08:54,980
Det her er psi.

149
00:08:54,980 --> 00:08:58,350
Det her er lig med

150
00:08:58,350 --> 00:09:00,960
en halv gange theta 1 plus theta 2.

151
00:09:00,960 --> 00:09:03,960
Hvad er theta 1 plus theta 2?

152
00:09:03,960 --> 00:09:06,470
Det er vores originale theta,

153
00:09:06,470 --> 00:09:08,490
som vi lagde ud med.

154
00:09:08,490 --> 00:09:12,080
Nu ser vi, at psi er lig med en halv theta.

155
00:09:12,080 --> 00:09:14,710
Nu har vi bevist det på en lidt mere generel måde,

156
00:09:14,710 --> 00:09:20,020
hvor vores centrum er inden for de 2 halvlinjer,

157
00:09:20,020 --> 00:09:21,640
der definerer vores vinkel.

158
00:09:21,640 --> 00:09:27,100
Nu har stadig ikke kigget på en sværere situation

159
00:09:27,100 --> 00:09:33,660
eller en mere generel situation,

160
00:09:33,660 --> 00:09:39,420
hvor centrum i cirklen ikke er inden for

161
00:09:39,420 --> 00:09:40,990
de 2 korder.

162
00:09:40,990 --> 00:09:41,820
Lad os tegne sådan en situation.

163
00:09:41,820 --> 00:09:48,800
Det her er vores vinkelspids.

164
00:09:48,800 --> 00:09:51,540
Det her er en af korderne,

165
00:09:51,540 --> 00:09:53,320
der definerer vinklen.

166
00:09:53,320 --> 00:09:57,860
Det her er den anden korde,

167
00:09:57,860 --> 00:09:59,170
så vinklen defineres sådan her.

168
00:10:02,500 --> 00:10:07,910
Lad os kalde den her vinkel for psi 1.

169
00:10:07,910 --> 00:10:13,050
Hvordan finder vi forholdet mellem psi 1 og den centervinkel,

170
00:10:13,050 --> 00:10:16,160
der ligger lige overfor den samme cirkelbue?

171
00:10:16,160 --> 00:10:19,530
Det er den her cirkelbue.

172
00:10:19,530 --> 00:10:22,720
Den centervinkel, der ligger lige overfor den samme cirkelbue,

173
00:10:22,720 --> 00:10:23,660
ser sådan her ud.

174
00:10:28,150 --> 00:10:32,910
Den kalder vi theta 1.

175
00:10:32,910 --> 00:10:36,770
Vi kan bruge det, vi lige har lært,

176
00:10:36,770 --> 00:10:39,350
når den ene side i vores indskrevne vinkel er en diameter.

177
00:10:41,135 --> 00:10:44,260
Lad os tegne en diameter her.

178
00:10:44,260 --> 00:10:47,010
Vi skal stadig gerne komme frem til,

179
00:10:47,010 --> 00:10:48,180
at den her er det halve af den her.

180
00:10:48,180 --> 00:10:57,560
Diameteren er her.

181
00:10:57,560 --> 00:11:09,490
Vi kalder den her vinkel for psi 2.

182
00:11:09,490 --> 00:11:14,770
Den ligger over den her cirkelbue.

183
00:11:16,140 --> 00:11:19,770
Den her.

184
00:11:19,770 --> 00:11:22,360
Centervinklen, der ligger overfor den samme cirkelbue,

185
00:11:22,360 --> 00:11:25,300
kalder vi theta 2.

186
00:11:25,300 --> 00:11:30,890
Vi ved fra tidligere, at psi 2 er lig med

187
00:11:30,890 --> 00:11:37,600
en halv theta 2.

188
00:11:37,600 --> 00:11:40,760
De deler den her diameter.

189
00:11:40,760 --> 00:11:44,300
Diameteren her er den ene af de 2 korder, der danner vinklen.

190
00:11:44,300 --> 00:11:47,500
Psi 2 er lig med en halv theta 2.

191
00:11:50,140 --> 00:11:52,810
Det er præcis det, vi gjorde i den sidste video.

192
00:11:52,810 --> 00:11:55,430
Det her er en indskreven vinkel.

193
00:11:55,430 --> 00:11:59,550
En af de definerende korder ligger på diameteren.

194
00:11:59,550 --> 00:12:02,740
Den her er det halve af centervinklen,

195
00:12:02,740 --> 00:12:05,980
der ligger overfor den samme cirkelbue.

196
00:12:05,980 --> 00:12:09,000
Lad os nu kigge på den store vinkel.

197
00:12:09,000 --> 00:12:11,680
Det er den her.

198
00:12:11,680 --> 00:12:14,240
Psi 1 plus psi 2.

199
00:12:14,240 --> 00:12:22,720
Den store vinkel er psi 1 plus psi 2.

200
00:12:22,720 --> 00:12:28,680
Den her ligger overfor den samme cirkelbue.

201
00:12:28,680 --> 00:12:32,100
Diameteren er den ene af de 2 korder,

202
00:12:32,100 --> 00:12:34,310
der definerer den her kæmpe vinkel.

203
00:12:34,310 --> 00:12:37,380
Den her er det halve af den centervinkel,

204
00:12:37,380 --> 00:12:38,580
der ligger overfor den samme cirkelbue.

205
00:12:38,580 --> 00:12:42,270
Vi bruger det, vi allerede har vist i videoen.

206
00:12:42,270 --> 00:12:47,390
Den her er lig med det halve af den kæmpe centervinkel,

207
00:12:47,390 --> 00:12:51,370
der er theta 1 plus theta 2.

208
00:12:54,310 --> 00:12:56,530
Indtil videre har vi kun brugt de ting,

209
00:12:56,530 --> 00:12:58,160
vi allerede har lært i den her video.

210
00:12:58,160 --> 00:13:03,160
Vi ved allerede, at psi 2 er lig med en halv theta 2.

211
00:13:03,160 --> 00:13:05,630
Lad os nu substituere.

212
00:13:05,630 --> 00:13:07,030
Den her er lig med den her.

213
00:13:07,030 --> 00:13:15,330
I stedet for psi 2 skriver vi en halv theta 2.

214
00:13:15,330 --> 00:13:26,630
Psi 1 plus en halv theta 2 er lig med en halv theta 1 plus en halv theta 2.

215
00:13:30,340 --> 00:13:34,020
Vi kan nu trække en halv theta 2 fra begge sider.

216
00:13:34,020 --> 00:13:35,740
Her er vores resultat.

217
00:13:35,740 --> 00:13:40,900
Psi 1 er lig med en halv theta 1.

218
00:13:40,900 --> 00:13:41,970
Nu er vi færdige.

219
00:13:41,970 --> 00:13:44,990
Vi har bevist,

220
00:13:44,990 --> 00:13:50,680
at den indskrevne vinkel altid er halvt så stor som den centervinkel, der ligger overfor den samme bue.

221
00:13:50,680 --> 00:13:53,980
Det er ligegyldigt, om centrum i cirklen er inden for vinklen,

222
00:13:53,980 --> 00:13:58,990
uden for vinklen

223
00:13:58,990 --> 00:14:00,950
eller om diameteren er den ene af vinkelkorderne.

224
00:14:00,950 --> 00:14:05,860
Enhver anden vinkel kan altså konstrueres som en sum

225
00:14:05,860 --> 00:14:08,300
af enhver af dem eller alle dem, vi lige har lavet.

226
00:14:08,300 --> 00:14:10,190
Forhåbentlig var den nye viden brugbar,

227
00:14:10,190 --> 00:14:14,630
og vi kan faktisk bygge videre på de her ting

228
00:14:14,630 --> 00:14:16,460
for at lave nye geometribeviser.