0:00:00.690,0:00:03.450
I den her video skal vi bevise

0:00:03.450,0:00:08.980
en af de mere brugbare ting i geometri.

0:00:08.980,0:00:14.950
Det er, at en indskreven vinkel er en vinkel,

0:00:14.950,0:00:17.080
hvis vinkelspids er på en cirkel.

0:00:17.080,0:00:19.800
Det er vores indskrevne vinkel.

0:00:19.800,0:00:24.950
Vi kalder den psi.

0:00:24.950,0:00:27.170
Vi bruger psi for indskrevne vinkler i den her video.

0:00:27.170,0:00:33.530
Psi er præcis en halv af den centervinkel,

0:00:33.530,0:00:37.880
der ligger overfor den samme cirkelbue.

0:00:37.880,0:00:40.730
Vi har lige brugt en masse fine ord,

0:00:40.730,0:00:41.650
men man burde have hørt dem før.

0:00:41.650,0:00:42.820
Det her er psi.

0:00:42.820,0:00:44.470
Det er en indskrevet vinkel.

0:00:44.470,0:00:48.710
Dens vinkelspids er på cirklen.

0:00:48.710,0:00:52.570
Når vi tegner de 2 halvlinjer, der går ud fra vinklen -

0:00:52.570,0:00:56.040
det er de 2 korder, der definerer vinklen -

0:00:56.040,0:00:57.340
skærer de cirklen i den anden ende.

0:00:57.340,0:01:00.390
Hvis vi kigger på den del af cirklen,

0:01:00.390,0:01:03.730
der er indenfor,

0:01:03.730,0:01:06.160
er det den cirkelbue, der ligger lige overfor psi.

0:01:06.160,0:01:09.010
Det er nogle komplicerede ord,

0:01:09.010,0:01:09.920
men selve idéen er simpel.

0:01:09.920,0:01:28.485
Det her er cirkelbuen, der ligger lige overfor psi.

0:01:28.485,0:01:31.560
Psi er den indskrevne vinkel her.

0:01:31.560,0:01:32.400
Vinkelspidsen er på cirklen.

0:01:32.400,0:01:37.920
En centervinkel er en vinkel,

0:01:37.920,0:01:39.460
hvor vinkelspidsen er i cirklens centrum.

0:01:39.460,0:01:41.880
Det her ser ud til at være cirklens centrum.

0:01:41.880,0:01:45.510
Vi finder det på øjemål.

0:01:45.510,0:01:51.360
Lad os tegne en centervinkel, der ligger overfor den samme cirkelbue.

0:01:51.360,0:01:58.470
Det ligner en centervinkel.

0:01:58.470,0:01:59.390
Sådan.

0:01:59.390,0:02:01.440
Den kalder vi theta.

0:02:01.440,0:02:06.030
Den her vinkel er psi, og den her vinkel er theta.

0:02:06.030,0:02:10.120
I den her video skal vi bevise,

0:02:10.120,0:02:14.050
at psi altid er lig med det halve af theta.

0:02:14.050,0:02:18.220
Hvis psi for eksempel er lig med 25 grader,

0:02:18.220,0:02:21.330
ved vi med det samme,

0:02:21.330,0:02:23.090
at theta er lig med 50 grader.

0:02:23.090,0:02:26.080
Hvis theta for eksempel er 80 grader,

0:02:26.080,0:02:29.300
ved vi, at psi er 40 grader.

0:02:29.300,0:02:31.500
Lad os bevise det.

0:02:31.500,0:02:34.520
Vi fjerner lige det her.

0:02:34.520,0:02:37.730
Et godt sted at begynde

0:02:37.730,0:02:40.460
er med et særligt tilfælde.

0:02:40.460,0:02:45.250
Vi tegner en indskreven vinkel,

0:02:45.250,0:02:47.910
hvor en af korderne også er diameteren i cirklen.

0:02:47.910,0:02:50.526
Det her er altså ikke generelt,

0:02:50.526,0:02:51.320
men et særligt tilfælde.

0:02:51.320,0:02:55.325
Det her er centrum i cirklen.

0:02:55.325,0:02:59.030
Vi finder det på øjemål.

0:02:59.030,0:03:00.770
Cirka her.

0:03:00.770,0:03:04.210
Lad os tegne diameteren.

0:03:04.210,0:03:06.440
Den er her.

0:03:06.440,0:03:09.410
Lad os nu definere den indskrevne vinkel.

0:03:09.410,0:03:11.860
Diameteren her er den ene side.

0:03:11.860,0:03:15.910
Den anden side ser måske sådan her ud.

0:03:15.910,0:03:20.520
Vi kalder vinklen psi.

0:03:20.520,0:03:27.120
Hvis det her er psi,

0:03:27.120,0:03:29.330
er det her radius i vores cirkel.

0:03:29.330,0:03:33.080
Den her længde er radius i cirklen.

0:03:35.760,0:03:38.130
Cirklens omkreds er defineret af alle de punkter,

0:03:38.130,0:03:40.340
der er præcis en radius væk fra centrum.

0:03:40.340,0:03:43.610
Det her er også en radius.

0:03:43.610,0:03:47.920
Trekanten er en ligesidet trekant.

0:03:47.920,0:03:49.890
Den har 2 sider, der er lige lange.

0:03:49.890,0:03:51.880
De 2 sider er præcis lige lange.

0:03:51.880,0:03:54.630
Vi ved, at når der er 2 sider, der er ens,

0:03:54.630,0:03:57.290
er grundvinklerne også ens.

0:03:57.290,0:04:00.640
Den her er altså også lig med psi.

0:04:00.640,0:04:02.130
Det kan godt være, at det ikke er helt tydeligt,

0:04:02.130,0:04:03.180
fordi den er skæv.

0:04:03.180,0:04:05.720
Når vi kigger på sådan en trekant her,

0:04:05.720,0:04:10.940
og det her er r, og det her er r,

0:04:10.940,0:04:17.860
altså at de her 2 sider er ens, og det her er psi,

0:04:17.860,0:04:20.830
ved vi, at den her vinkel også er psi.

0:04:20.830,0:04:23.930
Grundvinkler en ens i en ligebenet trekant.

0:04:23.930,0:04:26.720
Det her er psi, og det her er psi.

0:04:26.720,0:04:29.770
Lad os nu kigge på centervinklen.

0:04:29.770,0:04:32.710
Det er centervinklen, der ligger overfor den samme cirkelbue.

0:04:32.710,0:04:35.920
Lad os markere cirkelbuen, de begge ligger overfor.

0:04:35.920,0:04:40.300
Det her er den pågældende cirkelbue.

0:04:40.300,0:04:44.350
Her er centervinklen theta.

0:04:44.350,0:04:49.000
Hvis det her er theta, hvad er den her vinkel så?

0:04:50.620,0:04:53.010
Den vinkel er supplementær til theta,

0:04:53.010,0:04:56.640
så den er 180 minus theta.

0:04:56.640,0:04:59.560
Når vi lægger de 2 vinkler sammen, giver de 180 grader.

0:04:59.560,0:05:01.750
De danner nærmest en linje.

0:05:01.750,0:05:03.790
De er supplementære.

0:05:03.790,0:05:06.740
Nu ved vi også,

0:05:06.740,0:05:08.260
at de her 3 vinkler er i den samme trekant.

0:05:08.260,0:05:12.030
Derfor giver de sammenlagt 180 grader.

0:05:12.030,0:05:19.300
Den her psi plus psi plus den her vinkel,

0:05:19.300,0:05:25.420
som er 180 minus theta.

0:05:25.420,0:05:29.130
De 3 vinkler giver sammenlagt 180 grader.

0:05:29.130,0:05:31.740
Det er de 3 vinkler i en trekant.

0:05:31.740,0:05:34.605
Nu kan vi trække 180 fra begge sider.

0:05:37.140,0:05:43.260
Psi plus psi er 2psi minus theta er lig med 0.

0:05:43.260,0:05:44.840
Vi lægger theta til begge sider.

0:05:44.840,0:05:48.770
Vi får, at 2 psi er lig med theta.

0:05:48.770,0:05:52.850
Vi ganger begge sider med 1/2 eller dividerer begge sider med 2.

0:05:52.850,0:05:56.680
Vi får, at psi er lig med en halv theta.

0:05:56.680,0:06:00.070
Vi har nu bevist, hvad vi ville bevise

0:06:00.070,0:06:07.120
i det her særlige tilfælde,

0:06:07.120,0:06:11.200
hvor en af de halvlinjer,

0:06:11.200,0:06:15.220
der definerer den indskrevne vinkel,

0:06:15.220,0:06:17.180
er langs diameteren.

0:06:17.180,0:06:19.200
Diameteren er en del af den halvlinje.

0:06:19.200,0:06:21.720
Det er altså et særligt tilfælde,

0:06:21.720,0:06:23.760
hvor den ene halvlinje er på diameteren.

0:06:23.760,0:06:27.660
Vi kan allerede generalisere vores viden.

0:06:27.660,0:06:30.580
Vi ved nu, at hvis den her er 50,

0:06:30.580,0:06:32.820
er den her 100 og omvendt.

0:06:32.820,0:06:37.460
Ligemeget hvad psi eller theta er,

0:06:37.460,0:06:40.450
er psi halvdelen af theta.

0:06:40.450,0:06:41.830
Theta er altid det dobbelte af psi.

0:06:44.110,0:06:55.440
Ved at bruge det resultat, vi er kommet frem til,

0:06:55.440,0:06:59.460
kan vi generalisere en smule.

0:06:59.460,0:07:02.890
Det gælder dog ikke for alle indskrevne vinkler.

0:07:02.890,0:07:05.090
Lad os tegne sådan en indskreven vinkel her.

0:07:10.680,0:07:12.980
I den her situation kan

0:07:12.980,0:07:15.470
vi betragte centrum som om, det er inde i vinklen.

0:07:15.470,0:07:17.150
Det her er den indskrevne vinkel.

0:07:17.150,0:07:18.890
Vi vil gerne finde et forhold

0:07:18.890,0:07:22.450
mellem den indskrevne vinkel og centervinklen,

0:07:22.450,0:07:24.360
der ligger lige overfor den samme cirkelbue.

0:07:24.360,0:07:29.880
Det her er centervinklen, der ligger overfor den samme cirkelbue.

0:07:29.880,0:07:33.550
Ingen af de her korder definerer den her vinkel.

0:07:33.550,0:07:37.310
Det gør de her diametre heller ikke.

0:07:37.310,0:07:40.400
Vi kan tegne en diameter.

0:07:40.400,0:07:43.300
Hvis centrum er indenfor de 2 korder,

0:07:43.300,0:07:46.100
kan vi tegne en diameter.

0:07:46.100,0:07:48.920
Sådan.

0:07:48.920,0:07:51.680
Når vi tegner diameteren sådan her,

0:07:51.680,0:07:55.430
kan vi definere den her vinkel som psi 1 og den her som psi 2.

0:07:55.430,0:07:58.320
Psi er summen af de 2 vinkler.

0:07:58.320,0:08:04.350
Vi kalder den her vinkel for theta 1 og den her for theta 2.

0:08:04.350,0:08:07.240
Ud fra de resultater, vi har fået,

0:08:07.240,0:08:12.540
ved vi,

0:08:12.540,0:08:18.260
at psi 1 er lig

0:08:18.260,0:08:22.010
med en halv theta 1.

0:08:22.010,0:08:24.870
Vi ved også, at psi 2 er lig med en halv theta 2.

0:08:30.140,0:08:39.850
Psi, som er psi 1 plus psi 2,

0:08:39.850,0:08:41.120
er lig med de her 2 ting.

0:08:41.120,0:08:47.580
En halv theta 1 plus en halv theta 2.

0:08:47.580,0:08:51.180
Psi 1 plus psi 2 er

0:08:51.180,0:08:53.850
lig med den første indskrevne vinkel, som er psi.

0:08:53.850,0:08:54.980
Det her er psi.

0:08:54.980,0:08:58.350
Det her er lig med

0:08:58.350,0:09:00.960
en halv gange theta 1 plus theta 2.

0:09:00.960,0:09:03.960
Hvad er theta 1 plus theta 2?

0:09:03.960,0:09:06.470
Det er vores originale theta,

0:09:06.470,0:09:08.490
som vi lagde ud med.

0:09:08.490,0:09:12.080
Nu ser vi, at psi er lig med en halv theta.

0:09:12.080,0:09:14.710
Nu har vi bevist det på en lidt mere generel måde,

0:09:14.710,0:09:20.020
hvor vores centrum er inden for de 2 halvlinjer,

0:09:20.020,0:09:21.640
der definerer vores vinkel.

0:09:21.640,0:09:27.100
Nu har stadig ikke kigget på en sværere situation

0:09:27.100,0:09:33.660
eller en mere generel situation,

0:09:33.660,0:09:39.420
hvor centrum i cirklen ikke er inden for

0:09:39.420,0:09:40.990
de 2 korder.

0:09:40.990,0:09:41.820
Lad os tegne sådan en situation.

0:09:41.820,0:09:48.800
Det her er vores vinkelspids.

0:09:48.800,0:09:51.540
Det her er en af korderne,

0:09:51.540,0:09:53.320
der definerer vinklen.

0:09:53.320,0:09:57.860
Det her er den anden korde,

0:09:57.860,0:09:59.170
så vinklen defineres sådan her.

0:10:02.500,0:10:07.910
Lad os kalde den her vinkel for psi 1.

0:10:07.910,0:10:13.050
Hvordan finder vi forholdet mellem psi 1 og den centervinkel,

0:10:13.050,0:10:16.160
der ligger lige overfor den samme cirkelbue?

0:10:16.160,0:10:19.530
Det er den her cirkelbue.

0:10:19.530,0:10:22.720
Den centervinkel, der ligger lige overfor den samme cirkelbue,

0:10:22.720,0:10:23.660
ser sådan her ud.

0:10:28.150,0:10:32.910
Den kalder vi theta 1.

0:10:32.910,0:10:36.770
Vi kan bruge det, vi lige har lært,

0:10:36.770,0:10:39.350
når den ene side i vores indskrevne vinkel er en diameter.

0:10:41.135,0:10:44.260
Lad os tegne en diameter her.

0:10:44.260,0:10:47.010
Vi skal stadig gerne komme frem til,

0:10:47.010,0:10:48.180
at den her er det halve af den her.

0:10:48.180,0:10:57.560
Diameteren er her.

0:10:57.560,0:11:09.490
Vi kalder den her vinkel for psi 2.

0:11:09.490,0:11:14.770
Den ligger over den her cirkelbue.

0:11:16.140,0:11:19.770
Den her.

0:11:19.770,0:11:22.360
Centervinklen, der ligger overfor den samme cirkelbue,

0:11:22.360,0:11:25.300
kalder vi theta 2.

0:11:25.300,0:11:30.890
Vi ved fra tidligere, at psi 2 er lig med

0:11:30.890,0:11:37.600
en halv theta 2.

0:11:37.600,0:11:40.760
De deler den her diameter.

0:11:40.760,0:11:44.300
Diameteren her er den ene af de 2 korder, der danner vinklen.

0:11:44.300,0:11:47.500
Psi 2 er lig med en halv theta 2.

0:11:50.140,0:11:52.810
Det er præcis det, vi gjorde i den sidste video.

0:11:52.810,0:11:55.430
Det her er en indskreven vinkel.

0:11:55.430,0:11:59.550
En af de definerende korder ligger på diameteren.

0:11:59.550,0:12:02.740
Den her er det halve af centervinklen,

0:12:02.740,0:12:05.980
der ligger overfor den samme cirkelbue.

0:12:05.980,0:12:09.000
Lad os nu kigge på den store vinkel.

0:12:09.000,0:12:11.680
Det er den her.

0:12:11.680,0:12:14.240
Psi 1 plus psi 2.

0:12:14.240,0:12:22.720
Den store vinkel er psi 1 plus psi 2.

0:12:22.720,0:12:28.680
Den her ligger overfor den samme cirkelbue.

0:12:28.680,0:12:32.100
Diameteren er den ene af de 2 korder,

0:12:32.100,0:12:34.310
der definerer den her kæmpe vinkel.

0:12:34.310,0:12:37.380
Den her er det halve af den centervinkel,

0:12:37.380,0:12:38.580
der ligger overfor den samme cirkelbue.

0:12:38.580,0:12:42.270
Vi bruger det, vi allerede har vist i videoen.

0:12:42.270,0:12:47.390
Den her er lig med det halve af den kæmpe centervinkel,

0:12:47.390,0:12:51.370
der er theta 1 plus theta 2.

0:12:54.310,0:12:56.530
Indtil videre har vi kun brugt de ting,

0:12:56.530,0:12:58.160
vi allerede har lært i den her video.

0:12:58.160,0:13:03.160
Vi ved allerede, at psi 2 er lig med en halv theta 2.

0:13:03.160,0:13:05.630
Lad os nu substituere.

0:13:05.630,0:13:07.030
Den her er lig med den her.

0:13:07.030,0:13:15.330
I stedet for psi 2 skriver vi en halv theta 2.

0:13:15.330,0:13:26.630
Psi 1 plus en halv theta 2 er lig med en halv theta 1 plus en halv theta 2.

0:13:30.340,0:13:34.020
Vi kan nu trække en halv theta 2 fra begge sider.

0:13:34.020,0:13:35.740
Her er vores resultat.

0:13:35.740,0:13:40.900
Psi 1 er lig med en halv theta 1.

0:13:40.900,0:13:41.970
Nu er vi færdige.

0:13:41.970,0:13:44.990
Vi har bevist,

0:13:44.990,0:13:50.680
at den indskrevne vinkel altid er halvt så stor som den centervinkel, der ligger overfor den samme bue.

0:13:50.680,0:13:53.980
Det er ligegyldigt, om centrum i cirklen er inden for vinklen,

0:13:53.980,0:13:58.990
uden for vinklen

0:13:58.990,0:14:00.950
eller om diameteren er den ene af vinkelkorderne.

0:14:00.950,0:14:05.860
Enhver anden vinkel kan altså konstrueres som en sum

0:14:05.860,0:14:08.300
af enhver af dem eller alle dem, vi lige har lavet.

0:14:08.300,0:14:10.190
Forhåbentlig var den nye viden brugbar,

0:14:10.190,0:14:14.630
og vi kan faktisk bygge videre på de her ting

0:14:14.630,0:14:16.460
for at lave nye geometribeviser.