-
V elementární aritmetice
počítáme s čísly.
-
Vidíme 23 plus 5 a víme,
co tato čísla znamenají,
-
takže příklad můžeme spočítat.
-
Výsledek bude 28.
-
Můžeme říct 2 krát 7.
-
Nebo řekněme 3 děleno 4.
-
Ve všech těchto případech víme přesně,
-
s jakými čísly pracujeme.
-
Jakmile vstoupíme do světa algebry,
-
a možná, že jste se s tím už setkali,
-
začneme počítat s proměnnými.
-
Proměnné si můžete
představit mnoha způsoby,
-
ale jsou to vlastně jen čísla,
-
která se ve výrazu mohou měnit.
-
Hodnota čísla ve výrazech se může měnit.
-
Takže například pokud napíši: x plus 5.
-
Toto se nazývá výraz.
-
Ten může nabýt nějaké hodnoty v závislosti na tom,
-
jakou hodnotu má 'x'.
-
Pokud se 'x' rovná 1,
-
potom v tomto našem výrazu
(x plus 5) se bude 'x' rovnat 1,
-
protože 'x' je teď 1.
-
Bude to tedy 1 plus 5.
-
Takže (x plus 5) se bude rovnat 6.
-
Pokud 'x' bude například -7,
-
potom (x plus 5) se bude rovnat ...
-
Když je 'x' rovno -7, tak to bude -7 plus 5, což je -2.
-
Takže si všimněte, že 'x' je proměnná,
-
jejíž hodnota se může měnit
podle okolností v rámci daného výrazu.
-
A to stejné bude platit i u rovnic.
-
Je důležité si uvědomit rozdíl mezi výrazem
-
Výraz je ve skutečnosti jen tvrzení o hodnotě.
-
Tvrzení o nějaké hodnotě veličiny.
-
Takže toto je VÝRAZ.
-
A výraz vypadá takto.
-
Vlastně jsme ho před chvilkou používali.
-
x plus 5
-
Hodnota tohoto výrazu se bude měnit v závislosti na hodnotě
-
A mohli byste si vypočítat hodnoty výrazu pro různé hodnoty 'x'.
-
Další výraz by mohl být třeba (y plus z)
-
Teď jsou všechny prvky výrazu proměnné.
-
Pokud y = 1 a z = 2, pak to bude (1 plus 2).
-
Pokud y = 0 a z = -1, pak to bude (0 plus -1).
-
Tyto výrazy mohou být vypočítány
-
a v podstatě udávají hodnotu v závislosti
na hodnotách jednotlivých proměnných,
-
které výraz tvoří.
-
V rovnicích v podstatě
definujete rovnost výrazů.
-
Právě proto se jim říká "rovnice".
-
Je tím řečeno, že dvě věci jsou si rovny.
-
V rovnici uvidíte, že se jeden výraz rovná druhému výrazu.
-
Například byste mohli tvrdit, že
-
x + 3 = 1
-
A v případě, že máte jednu rovnici,
-
s pouze jednou neznámou,
-
tak můžete vypočítat čemu se 'x' musí rovnat,
-
aby rovnice platila.
-
A mohli byste to zvládnout i z hlavy.
-
Jaké číslo plus 3 je rovno 1?
-
To byste z hlavy mohli spočítat.
-
Pokud mám (-2 plus 3), pak je to 1.
-
Takže rovnice vlastně omezuje jakých hodnot může naše proměnná nabývat.
-
Ale nemusí ji nutně omezovat tolik.
-
Můžete mít třeba
-
x + y + z = 5
-
Máte tedy výraz, který se rovná jinému výrazu.
-
Pětka vpravo je taky výrazem.
-
A jsou zde nějaká omezení.
-
Pokud vám někdo řekne, kolik je 'y' a 'z',
-
tak pak můžete spočítat kolik je 'x'.
-
Pokud vám někdo řekne, kolik je 'x' a 'y',
-
pak je tím vlastně určena hodnota 'z'.
-
Záleží tedy na různých okolnostech.
-
Například pokud je 'y' je rovné 3
-
a 'z' je rovné 2.
-
Kolik pak bude 'x'?
-
Tedy pokud y = 3 a z = 2,
-
potom budete mít na levé straně výraz
-
x + 3 + 2
-
což je x + 5
-
pravá strana je 5
-
x + 5 = 5
-
Jaké číslo plus 5 se bude rovnat 5?
-
Teď vidíme, že 'x' nemůže mít libovolnou hodnotu...
-
x musí být rovno 0.
-
Ale důležité je,
-
že jste si snad uvědomili rozdíl mezi VÝRAZEM a ROVNICÍ.
-
V rovnici v podstatě dáváte dva výrazy do rovnosti.
-
Důležitá věc, kterou byste si z této lekce měli odnést je,
-
že proměnná může nabývat různých hodnot v závislosti na příkladu.
-
A aby se nám to dostalo do hlavy,
-
tak si spočítáme pár výrazů,
-
kdy proměnné nabývají různých hodnot.
-
Například máme-li výraz,
-
'x' na 'y', tedy mocninu 'x'
-
pokud 'x' je rovno 5, x = 5
-
a 'y' je rovno 2
-
y = 2
-
potom náš výraz po dosazení bude,
-
'x' bude 5
-
x = 5
-
'y' bude 2
-
Bude to druhá mocnina 5
-
nebo-li to bude 25.
-
Pokud se změní hodnoty,
-
pokud bychom řekli,
-
... udělám to stejnou barvou....
-
pokud bychom řekli 'x' se rovná... 'x' se rovná -2
-
a 'y' ... a 'y' se rovná 3,
-
potom tento výraz bude po dosazení odpovídat,
-
... udělám to touto barvou...
-
... bude odpovídat -2.
-
A když to dosadíme za 'x' v této rovnici
-
a 'y' je teď 3
-
- 2 na třetí... třetí mocnina -2
-
to je -2 krát -2 krát -2, což je -8.
-
-2 krát -2 je +4
-
krát -2 je -8.
-
Je to rovno -8.
-
Vidíte tedy, že v závislosti na těchto hodnotách
-
a mohli bychom počítat mnohem složitější věci.
-
Mohli bychom mít výraz jako,
-
odmocnina z výrazu x plus y mínus x.
-
Pokud se 'x' rovná,.... řekněme, že 'x' rovná se 1
-
a 'y'...'y' bude rovno 8.
-
Potom by tento výraz odpovídal...
-
... za všechna 'x' dosadíme 1.
-
Takže bychom tady měli 1
-
a zde by také byla 1.
-
A za všechna 'y' bychom dosadili 8.
-
Zkrátka dosazujeme za proměnné,
-
takže zde bychom měli 8.
-
Pod odmocninou bychom pak měli (1 plus 8).
-
tedy odmocninu z 9, což je 3.
-
Celý výraz by se po dosazení zjednodušil.
-
Proměnné se rovnají těmto hodnotám.
-
A celý tento výraz se tedy zjednoduší na 3
-
1 plus 8 je 9
-
a druhá odmocnina 9 je 3
-
potom bychom tedy měli (3 mínus 1)
-
což se rovná 2.
