Return to Video

基本三角学之二

  • 0:01 - 0:03
    让我们来做大量的习题
  • 0:03 - 0:07
    只是想确保我们把基本三角函数掌握得很好
  • 0:07 - 0:11
    让我们来构思一些直角三角形
  • 0:11 - 0:14
    让我们来构思些直角三角形
  • 0:14 - 0:15
    而且我想把它解释得十分清楚
  • 0:15 - 0:18
    目前为止，它们只适用于直角三角形
  • 0:18 - 0:23
    所以如果你正在找一些非直角三角形里的角的三角函数
  • 0:23 - 0:26
    我们将看到 必须要构建直角三角形
  • 0:26 - 0:28
    但现在我们只集中注意力在直角三角形
  • 0:28 - 0:31
    因此我们说，我有一个三角形
  • 0:31 - 0:34
    而且假设这里的长度是7
  • 0:34 - 0:38
    也假设，这条边的长度
  • 0:38 - 0:39
    假设是4
  • 0:39 - 0:43
    让我们找出这里的斜边将会是多少
  • 0:43 - 0:46
    因此我们知道 让我们把斜边叫做“h”
  • 0:46 - 0:52
    我们知道h的平方将等于 7的平方+4的平方
  • 0:52 - 0:55
    这从勾股定理中来
  • 0:55 - 0:57
    斜边的平方等于
  • 0:57 - 1:02
    其他两条边的平方的总和
  • 1:02 - 1:05
    h的平方 = 7的平方 + 4的平方
  • 1:05 - 1:10
    这就等于49+16
  • 1:10 - 1:12
    49+16
  • 1:12 - 1:19
    49+10=59，加上6等于65
  • 1:19 - 1:21
    所以这是√65 这是 h平方
  • 1:21 - 1:26
    让我写下：h平方 - 这是不同的阴影的黄色
  • 1:26 - 1:29
    因此我们有一个数的平方是等于65
  • 1:29 - 1:34
    我做得对吗？49+10=59，加上另外的6等于65
  • 1:34 - 1:38
    或者我们能说h等于，如果我们把两边的开方
  • 1:38 - 1:39
    开方
  • 1:39 - 1:43
    65的平方根，而且我们真的不能把它化简了
  • 1:43 - 1:45
    这是13
  • 1:45 - 1:47
    这跟13乘以5一样
  • 1:47 - 1:50
    他们都不能完全平方
  • 1:50 - 1:52
    它们都是素数 所以你不能再化简它们
  • 1:52 - 1:55
    这就等于65的平方根
  • 1:55 - 2:02
    现在让我们找，让我们这个角的的三角函数
  • 2:02 - 2:05
    假设这个角叫做Θ
  • 2:05 - 2:07
    所以每当你做它
  • 2:07 - 2:09
    你总是想要把它写下来--至少对我来说，写下来它起作用
  • 2:09 - 2:12
    soh cah toa
  • 2:12 - 2:13
    soh
  • 2:13 - 2:16
    soh cah toa。我有些模糊的记忆
  • 2:16 - 2:19
    从我的三角学老师
  • 2:19 - 2:21
    也许我已经在几本书里读过它了，我不知道 — — 你知道，关于
  • 2:21 - 2:24
    一些类型的印度公主命名为"soh cah toa" 或什么的
  • 2:24 - 2:26
    但它是一个非常有用的助记符
  • 2:26 - 2:28
    这样我们可以应用"soh cah toa"
  • 2:28 - 2:31
    假设我们要找余弦值
  • 2:31 - 2:34
    我们想要找角的余弦值
  • 2:34 - 2:38
    我们想找角的余弦值，你说："soh cah toa ！"
  • 2:38 - 2:41
    所以"cah". "Cah"告诉我们如何处理余弦值
  • 2:41 - 2:43
    "cah"这部分告诉我们
  • 2:43 - 2:46
    余弦值是 邻边比斜边
  • 2:46 - 2:51
    余弦值等于邻边
  • 2:51 - 2:56
    现在，让我们看一遍 Θ ； 哪条是邻边？
  • 2:56 - 2:58
    我们都知道，斜边
  • 2:58 - 3:01
    我们知道，斜边是这条
  • 3:01 - 3:05
    所以它不能是那条。其他仅有的一条相邻的边
  • 3:05 - 3:07
    不是斜边，是4
  • 3:07 - 3:10
    所以邻边在这里，这条是
  • 3:10 - 3:14
    这恰好是靠近角的旁边
  • 3:14 - 3:16
    这是构成这个三角形的一条边之一
  • 3:16 - 3:17
    这是4
  • 3:17 - 3:21
    斜边我们已经知道了是 √65
  • 3:21 - 3:25
    因此是4除以√65
  • 3:25 - 3:29
    有时候人们会希望你把分母有理化，意思是
  • 3:29 - 3:33
    他们不喜欢分母是一个无理数
  • 3:33 - 3:35
    就象√65一样
  • 3:35 - 3:39
    如果他们-如果你想重写使它分母里没有无理数
  • 3:39 - 3:42
    你可以乘以分子和分母
  • 3:42 - 3:43
    用√65
  • 3:43 - 3:45
    这显然不会更改数字
  • 3:45 - 3:48
    因为我们上下乘以同样的数
  • 3:48 - 3:49
    所以我们把用1乘以这个数字
  • 3:49 - 3:53
    这不会改变数，而且至少它可以去除分母中的无理数
  • 3:53 - 3:54
    所以分子变成
  • 3:54 - 3:58
    4x √65
  • 3:58 - 4:03
    而且分母，√65 乘以 √65，等于65
  • 4:03 - 4:07
    我们没有去掉无理数，它依然在那里，只是在分子那里
  • 4:07 - 4:10
    现在让我们来做其他三角函数
  • 4:10 - 4:12
    或者其他重要的三角函数
  • 4:12 - 4:14
    将来我们将要学很多这些
  • 4:14 - 4:15
    但它们都是从这些中延伸出来的
  • 4:15 - 4:20
    因此让我们想Θ的符号是什么。再一次，用到 soh cah toa
  • 4:20 - 4:25
    soh 告诉怎么做正弦值。正弦值是对边比斜边
  • 4:25 - 4:29
    正弦值等于对边比斜边
  • 4:29 - 4:31
    正弦值是对边比斜边
  • 4:31 - 4:34
    因此，哪条是这个角的对边呢？
  • 4:34 - 4:38
    我们从它走向对面，它面对什么，它面对着7
  • 4:38 - 4:41
    所以，对边是7
  • 4:41 - 4:44
    正好在这，这是对边
  • 4:44 - 4:48
    然后在斜边，它是对边比斜边
  • 4:48 - 4:51
    斜边是√65
  • 4:51 - 4:53
    65的平方根
  • 4:53 - 4:55
    再一次如果我们想使它有理化
  • 4:55 - 5:00
    我们可以乘以√65分之√65
  • 5:00 - 5:04
    然后分子，我们会得到7√65
  • 5:04 - 5:08
    在分母我们得到65
  • 5:08 - 5:10
    现在让我们来做正切值
  • 5:10 - 5:13
    让我们来做正切值
  • 5:13 - 5:15
    因此，如果我问你正切值
  • 5:15 - 5:17
    θ的正切值
  • 5:17 - 5:21
    再一次回到soh cah
  • 5:21 - 5:23
    toa, toa这一部分告诉我们怎样做正切值
  • 5:23 - 5:25
    它告诉我们
  • 5:25 - 5:27
    它告诉我们
  • 5:27 - 5:30
    正切值等于对边
  • 5:30 - 5:33
    等于对边比
  • 5:33 - 5:36
    对边比邻边
  • 5:36 - 5:39
    所以对这个角来说 我们已经找出了对边
  • 5:39 - 5:41
    是7，它对着7
  • 5:41 - 5:43
    这条对边是7
  • 5:43 - 5:46
    所以，是7
  • 5:46 - 5:48
    嗯，4是邻边
  • 5:48 - 5:51
    这个4是邻边，所以邻边是4
  • 5:51 - 5:54
    因此是7比4
  • 5:54 - 5:56
    我们完成了
  • 5:56 - 5:59
    我们找出了所有三角形内θ的所有比率
  • 5:59 - 6:00
    让我们做另一题
  • 6:00 - 6:03
    让我们做另一题。我将把它具体化，因为现在我们已经说过
  • 6:03 - 6:06
    x的正切值，θ的正切值。让我把题目弄得复杂点
  • 6:06 - 6:08
    假设
  • 6:08 - 6:11
    假设，让我画另一个直角三角形
  • 6:11 - 6:14
    这是另一个直角三角形
  • 6:14 - 6:18
    我们正解决的一切题目
  • 6:18 - 6:21
    假设，斜边的长度是4
  • 6:21 - 6:26
    假设这条边的长度将会是2
  • 6:26 - 6:32
    假设这条边的长度将会是2√3
  • 6:32 - 6:33
    我们能证明这个结果
  • 6:33 - 6:36
    如果你把这条边平方 所以你会有，让我把它写下来
  • 6:36 - 6:39
    2乘以3的平方根之积的平方
  • 6:39 - 6:42
    加上2的平方等于
  • 6:42 - 6:46
    这是2 这将是4x3
  • 6:46 - 6:50
    4x3+4
  • 6:50 - 6:53
    这将会=12+4 = 16
  • 6:53 - 6:58
    16确实是4的平方，因此这真的等于4的平方
  • 6:58 - 7:02
    它等于4的平方，它满足勾股定理
  • 7:02 - 7:06
    如果你记得你在30，60，90三角形中，
  • 7:06 - 7:08
    你可能会学习到几何
  • 7:08 - 7:11
    你可能会认出这个是一个30，60，90度三角形
  • 7:11 - 7:13
    这个是直角
  • 7:13 - 7:16
    我应该把它画出来，表示出这是一个直角三角形
  • 7:16 - 7:20
    这里的这个是30度的角
  • 7:20 - 7:23
    然后这个角
  • 7:23 - 7:26
    是60度角
  • 7:26 - 7:28
    它们是30 60 90 因为
  • 7:28 - 7:32
    30度角所对的边=斜边的一半
  • 7:32 - 7:37
    60度角的对边比另一条边的值是√3
  • 7:37 - 7:38
    不是比斜边
  • 7:38 - 7:40
    因此我们不准备
  • 7:40 - 7:43
    这个的目的不是复习30 60 90三角形 尽管我刚做过
  • 7:43 - 7:47
    让我们真正地找三角形不同角的比值
  • 7:47 - 7:51
    因此如果我问你
  • 7:51 - 7:55
    什么是30度角的正弦值
  • 7:55 - 7:58
    记得30度是三角形的其中一个角，但它可以满足
  • 7:58 - 8:02
    当你有一个30度角而且你正在解决直角三角形的问题
  • 8:02 - 8:05
    我们将来会有广泛的定义，但如果你说30度的正弦值
  • 8:05 - 8:09
    这里的这个角是30度，因此我能用这个直角
  • 8:09 - 8:12
    因此我们只需要记得 soh cah toa
  • 8:12 - 8:17
    重写它 soh cah toa
  • 8:17 - 8:23
    正弦值soh告诉我们怎样做正弦值。正弦值是对边比斜边
  • 8:23 - 8:26
    30度的正弦值是对边
  • 8:26 - 8:31
    对边是2比斜边
  • 8:31 - 8:32
    斜边是4
  • 8:32 - 8:36
    这是4分之二，也就等于二分之一
  • 8:36 - 8:41
    30度的正弦值，你会看见这总是等于
  • 8:41 - 8:44
    现在，什么是
  • 8:44 - 8:47
    什么是余弦值
  • 8:47 - 8:50
    再一次回到 soh cah toa
  • 8:50 - 8:53
    cah告诉我们怎样做余弦值
  • 8:53 - 8:56
    余弦值是邻边比斜边
  • 8:56 - 8:59
    因此，对于30度角来说，它的邻边是这条
  • 8:59 - 9:02
    邻边是正好与它相邻
  • 9:02 - 9:05
    不是斜边 是邻边比斜边
  • 9:05 - 9:09
    因此是2x√3
  • 9:09 - 9:14
    邻边除以斜边 除以4
  • 9:14 - 9:17
    或者如果我们简化它，我们用分子和分母同时除以2
  • 9:17 - 9:21
    是√3/2
  • 9:21 - 9:23
    最后我们做正切值
  • 9:23 - 9:28
    30度角的
  • 9:28 - 9:30
    我们回到soh cah toa
  • 9:30 - 9:32
    soh cah toa
  • 9:32 - 9:35
    toa 告诉我们怎样做正切值，是对边比邻边
  • 9:35 - 9:39
    你找到30度角，因为我们关注30度角的正切值
  • 9:39 - 9:42
    30度角的正切值，对边是2
  • 9:42 - 9:46
    对边是2，邻边是2√3
  • 9:46 - 9:48
    它正好与它的邻边相邻
  • 9:48 - 9:49
    邻边的意思是旁边
  • 9:49 - 9:52
    因此2√3
  • 9:52 - 9:54
    这就等于抵消两个2
  • 9:54 - 9:57
    得出1/√3
  • 9:57 - 10:01
    或者我们可以同时用√3乘以分子和分母
  • 10:01 - 10:05
    因此，我们有√3/√3
  • 10:05 - 10:09
    因此这分子将会等于√3
  • 10:09 - 10:12
    然后分母等于3
  • 10:12 - 10:16
    因此我们已经使 √3/3
  • 10:16 - 10:17
    十分公平
  • 10:17 - 10:21
    现在让我们用相同的三角形 算出60度的三角形比率
  • 10:21 - 10:22
    因为我们已经画好了
  • 10:22 - 10:28
    因此什么是什么是60度角的正弦值?
  • 10:28 - 10:30
    我想你现在已经掌握诀窍了
  • 10:30 - 10:34
    正弦值是 对边比邻边，soh从soh cah toa中来
  • 10:34 - 10:37
    从60度角看那哪条是对边
  • 10:37 - 10:39
    就是对着2√3
  • 10:39 - 10:43
    因此对边是 2√3
  • 10:43 - 10:45
    而且从60度角，邻边是 对不起
  • 10:45 - 10:48
    应该是对边比斜边，不想把你弄糊涂
  • 10:48 - 10:51
    因此它是对边比斜边
  • 10:51 - 10:54
    是2√3 / 4，4是斜边
  • 10:54 - 11:00
    因此它等于，简化就是√3/2
  • 11:00 - 11:06
    60度的余弦值是多少
  • 11:06 - 11:10
    因此记住soh cah toa. 余弦值是邻边比斜边
  • 11:10 - 11:14
    邻边是与60度角相邻的两条边
  • 11:14 - 11:18
    因此它是2比斜边4
  • 11:18 - 11:21
    因此这等于1/2
  • 11:21 - 11:24
    最后 什么是正切值？
  • 11:24 - 11:28
    什么是60度的正切值？
  • 11:28 - 11:32
    好的，正切值，soh cah toa 正切值是对边比邻边
  • 11:32 - 11:35
    60度的对边是
  • 11:35 - 11:36
    2√3
  • 11:36 - 11:38
    2√3
  • 11:38 - 11:40
    然后邻边是
  • 11:40 - 11:43
    邻边是2
  • 11:43 - 11:45
    60度的邻边是2
  • 11:45 - 11:49
    因此它的对边比邻边 2√3/2
  • 11:49 - 11:53
    等于√3
  • 11:53 - 11:55
    然后我只是想--看看它们之间的关系
  • 11:55 - 11:58
    30度的正弦值等于60度的余弦值
  • 11:58 - 12:01
    30度的余弦值等于60度的正弦值。
  • 12:01 - 12:04
    然后这些东西都和对方相反
  • 12:04 - 12:06
    我想如果你想想这个三角形
  • 12:06 - 12:07
    它将会言之有理地解释原因
  • 12:07 - 12:08
    我们将会继续延伸这个
  • 12:08 -
    并且给你更多的练习在接下来的一些视频中
Title:
基本三角学之二
Description:

基本三角学是可汗学院最受欢迎的视频之一
more » « less
Video Language:
English
Team:
Volunteer
Duration:
12:11

Chinese, Simplified subtitles

Revisions Compare revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.