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Vamos fazer mais um bocado de exemplos,
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para ter certeza que entenderemos bem essa coisa de Função Trigonométrica.
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Então vamos construir alguns triângulos de angulo reto.
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Vamos construir os triângulos
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e eu quero deixar isso claro.
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A maneira como eu defini até agora, só funcionará em triângulos retângulos.
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então se você estiver tentando encontrar a função trigonométrica de ângulos que não fazem parte de triângulos retângulos,
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veremos que teremos que construir primeiro triângulos retângulos,
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mas por hora foquemos nos triângulos retângulos.
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Digamos que eu tenha um triângulo,
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onde essa distância aqui seja 7
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e digamos que essa outra distância aqui,
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digamos que seja 4.
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Vamos descobrir qual será a hipotenusa aqui.
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Então sabemos - chamaremos a hipotenusa de "h" -
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sabemos que h ao quadrado será igual 7 ao quadrado mais 4 ao quadrado,
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sabemos isso pelo Teorema de Pitágoras,
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que o quadrado da hipotenusa é igual à
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soma dos quadrados dos valores dos outros dois lados.
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h ao quadrado é igual a 7 ao quadrado mais 4 ao quadrado.
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Então o resultado é 49,
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49 mais 16,
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49 mais 10 é 59, mais 6 é 65.
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Então h ao quadrado é 65,
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deixe eu escrever: h ao quadrado - esse amarelo é diferente -
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então temos h ao quadrado é igual a 65.
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Fiz certo? 49 mais 10 é 59, mais 6 é 65,
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ou poderíamos dizer que h é igual a, se tirarmos a raiz quadrada
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dos dois lados,
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raiz quadrada de 65. E não podemos simplificar mais do que isso
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Aqui é 13.
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É a mesma coisa de 13 vezes 5,
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ambos não tem raízes perfeitas e
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ambos são primos, por isso não dá pra simplificar mais do que isso.
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Então isso é igual à raíz quadrada de 65.
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Agora, vamos encontrar a função trigonométrica desse ângulo aqui em cima.
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Vamos chamar esse ângulo de Theta.
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Quando você for calcular
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sempre anote tudo - para mim sempre dá certo quando faço anotações -
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"Soh cah toa"
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Soh...
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...soh cah toa. Eu tenho memórias vagas
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do meu professor de trigonometria.
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Ou talvez eu tenha lido em algum livro, não sei - algo... sobre
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algum tipo de princesa indiana chamada "Soh cah toa" ou algo assim,
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mas é uma mnemônica muito útil,
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então podemos aplicar "soh cah toa".
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Vamos encontrar por exemplo o Cosseno.
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Queremos encontrar o Cosseno do nosso ângulo.
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para encotrar o Cosseno do ângulo, você diz: "soh cah toa!"
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Então o "cah". "Cah" nos mostra o que fazer com o Cosaeno,
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o "cah" nos diz
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que o Cosseno é o cateto adjacente sobre a hipotenusa.
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Cosseno significa cateto adjacente sobre hipotenusa.
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Então olhemos Theta; qual lado é o adjacente?
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Bem, sabemos que a hipotenusa,
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sabemos que a hipotenusa é esse lado aqui.
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Então não pode ser aquele lado. O único outro lado que é adjacente é o que
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não é a hipotenusa, é este 4.
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E o outro lado adjacente, esse lado está,
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literalmente junto ao ângulo,
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é um dos lados que forma o ângulo,
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é 4 sobre a hipotenusa.
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Já sabemos que a hipotenusa é a raiz quadrada de 65,
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então faremos 4 sobre a raiz quadrada de 65.
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E algumas vezes você terá que racionalizar o denominador, o que significa
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que eles não gostam de ter um número irracional no denominador,
como a raíz quadrada de 65
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como a raiz quadrada de 65,
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e se eles - e caso você queira reescrever isso sem o número irracional no denominador,
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você pode multiplicar o numerador e o denominador
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pela raiz quadrada de 65.
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Certamente isso não alterará o número,
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pois o multiplicaremos por algo sobre si mesmo,
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então estamos multiplicando o número por 1.
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Isso não mudará o número, mas pelo menos eliminará o o número irracional do denominador.
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Então o numerador recebe
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4 vezes a raiz quadrada de 65.
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e o denominador, raiz quadrada de 65 vezes raiz quadrada de 65, que será apenas 65.
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Nós não nos livramos do número irracional, ele ainda está aí, só que agora no mumerador.
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Agora vamos fazer outras funcões trignométricas
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os tipos principais de funções.
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Aprenderemos no futuro que existem várias delas
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mas todas se derivam dessas.
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então vejamos o que é o Theta. Mais uma vez diga "soh cah toa".
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O "soh" mostra o que fazer com o Seno.
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Seno é o cateto oposto sobre a hipotenusa.
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Seno é igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa.
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Então para esse ângulo, qual lado é o seu oposto?
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Apenas seguimos oposto a ele, pra onde ele abre, e o seu oposto é o 7
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entao, o seu lado oposto é o 7.
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Isso aqui - que é o lado oposto
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e entao na hipotenusa, é o cateto oposto sobre a hipotenusa.
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A hipotenusa é a raiz quadrada de 65.
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Raiz quadrada de 65.
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e mais uma vez se quisermos racionalizar isso,
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podemos multiplicar pela raíz quadrada de 65 sobre a raiz quadrada de 65
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e o numerador, será 7 raiz quadrada de 65
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e no denominador teremos apenas 65 novamente.
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Agora faremos a Tangente!
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Vamos fazer a Tangente.
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Entao, se eu te perguntar a Tangente
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de - a Tangente de Theta
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mais uma vez repita "soh cah toa".
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O "toa" nos mostra como fazer a Tangente
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nos diz...
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Nos diz que a Tangente
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é igual ao cateto oposto sobre o cateto adjacente.
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É igual ao oposto sobre...
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O oposto sobre o adjacente.
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Então para esse ângulo, o que é o oposto? Isso nós já descobrimos.
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É o 7. Pois abre pro 7.
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Ele está oposto ao 7.
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Então é 7 sobre o lado que é adjacente.
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Bem, esse 4 é adjacente.
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Esse 4 é adjacente. Então o lado adjacente é 4.
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Então isso é 7 sobre 4,
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e nós terminamos.
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Descobrimos todos os tipos de relações trigonométricas para o Theta. Vamos fazer mais um.
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Vamos fazer mais um.
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Vou fazer esse um pouco mais concreto porque até agora só falamos sobre,
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"Oh, Tangente de x, Tangente de Theta." Vamos fazer um exemplo mais concreto.
mais concreto
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Digamos assim...
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Digamos, deixe-me desenhar outro triângulo retângulo,
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eis aqui outro triângulo retângulo bem aqui.
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Em tudo o que estamos fazendo, tudo isso está sendo em triângulos retângulos.
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Digamos que a Hipotenusa tem 4 de comprimento,
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e digamos que esse comprimento aqui seja de 2,
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e digamos que este comprimento bem aqui vá ser 2 vezes a raiz quadrada de 3.
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Podemos verificar que isso funciona.
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Se você elevar esse lado ao quadrado, então você terá - .deixe-me escrever isso -
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2 vezes a raiz quadrada de 3 ao quadrado
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mais 2 ao quadrado é igual a quê?
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Isto é um 2. Isso irá ser 4 vezes 3.
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4 vezes 3 mais 4,
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que vai dar 12 mais 4, que é igual a 16.
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E 16 é na verdade 4 ao quadrado. Então isso resulta em 4 ao quadrado,
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que é igual a quatro ao quadrado. E satisfaz o Teorema de Pitágoras
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e se você se lembrar, alguns dos seus exercícios sobre os triângulos de ângulos 30, 60 e 90 graus
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que você deve ter aprendido em Geometria,
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você reconhecerá que esse é um triângulo com ângulos de 30, 60 e 90 graus.
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E esse aqui é o nosso ângulo reto.
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- eu deveria ter marcado desde o começo para mostrar que este é um triângulo retângulo -
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este ângulo aqui é o nosso ângulo de 30 graus
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e esse aqui em cima, esse ângulo aqui é
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o ângulo de 60 graus,
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e ele é o 30-60-90 porquê
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o Cateto oposto ao ângulo de 30 é a metade da Hipotenusa
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e o lado oposto ao ângulo de 60 é a raiz de 3 vezes o outro lado
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que não é a Hipotenusa.
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Então assim, nós não iríamos...
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Não era pra eu fazer uma revisão dos triângulos de 30, 60 e 90 graus.
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Vamos encontrar os valores trigonométricos para ângulos diferentes.
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Então se eu te pergunto, ou alguém vai lhe perguntar, qual é...
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Qual é o Seno de 30 graus?
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E lembrando que 30 graus é um dos ângulos desse triângulo, mas você aplicaria
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em qualquer lugar onde houvesse um ângulo de 30 graus e que você está lidando como triângulos retângulos.
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Iremos ter definições mais amplas no futuro, mas se você disser Seno de 30 graus,
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ei, esse ângulo aqui tem 30 graus, então vou fazer uso da técnica do triângulo retângulo,
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e nós nos lembramos do "Soh cah toa"
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Vamos reescrever isso. "Soh cah toa".
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"Seno nos diz" (correção). Soh nos diz o que fazer com o Seno. Seno é o cateto oposto sobre a hipotenusa.
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Seno de 30 graus é o cateto oposto,
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este é o cateto oposto que é 2 sobre a hipotenusa.
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A hipotenusa aqui é quatro.
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Que é 2 sobre 4, que é o mesmo que 1 sobre 2, ou 1/2.
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Seno de 30 será sempre igual a 1/2.
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Agora qual é o Cosseno?
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Qual é o Cosseno de 30 graus?
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Mais uma vez use "Soh cah toa".
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O "cah" nos diz o que fazer com o Cosseno.
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Cosseno é o cateto adjacente sobre a hipotenusa.
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Então olhando para o ângulo de 30 graus é o adjacente.
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Este, bem aqui é o cateto adjacente. Está bem aqui o adjacente está junto dele.
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Ele não é a hipotenusa. É o adjacente sobre a hipotenusa.
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Então é 2 raiz quadrada de 3...
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Adjacente sobre... Sobre a Hipotrenusa, sobre 4.
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E se simplificarmos e dividirmos o numerador e o denominador por 2,
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teremos a raiz quadrada de 3 sobre 2.
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E por fim, vamos fazer a Tangente.
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A Tangente de 30 graus,
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de novo ao "Soh cah toa".
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"Soh cah toa"
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"toa" nos diz como fazer com a Tangente. É o oposto sobre o adjacente.
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Você vai para o ângulo de 30 graus porque é o que necessitamos, Tangente de 30.
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Tangente de 30 graus. O oposto é 2,
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o oposto é 2 o adjacente é 2 raiz quadrada de 3.
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é o bem perto, junto a ele. É o adjacente a ele.
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Adjacente significa "perto de".
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Então 2 raiz quadrada de 3...
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É igual a... Os 2s se cancelam...
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1 sobre raiz quadrada de 3
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ou podemos multiplicar o numerador e o denominador pela raiz quadrada de 3.
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Então teremos raiz quadrada de 3 sobre raiz quadrada de 3
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que será igual ao numerador raiz quadrada de 3 e então
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o denominador bem aqui irá ser 3.
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Então nós racionalizamos a raiz quadrada de 3 sobre 3.
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Muito bem.
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Agora vams usar o mesmo triângulo para descobrir os valores para o ângulo de 60 graus,
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que já está desenhado.
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Então qual é... Qual é o Seno de 60 graus?
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e eu espero que você esteja começando a entender agora.
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Seno é o cateto oposto sobre o adjacente. "Soh" do "Soh cah toa".
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Qual lado é o cateto oposto para o ângulo de 60 graus?
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Qual abre para o 2 raiz quadrada de 3,
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então o oposto é 2 raiz quadrada de 3,
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e para o ângulo de 60 graus o cateto adj... Ah, desculpe-me!
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É o oposto sobre a hipotenusa. Eu não quero te confundir.
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Então é o cateto oposto sobre a hipotenusa.
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Então fica 2 raiz quadrada de 3 sobre 4. 4 é a hipotenusa.
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E o resultado é, simplicando, raiz quadrada de 3 sobre 2.
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Qual o Cosseno de 60 graus? Cosseno de 60 graus.
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Lembre-se de "Soh cah toa". Cosseno é o cateto adjacente sobre a hipotenusa.
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adjacentes são os dois lados, bem perto do ângulo de 60 graus.
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Então isso é 2 sobre a hipotenusa que é 4.
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Então isso é igual a 1/2.
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E finalmente, qual é a Tangente?
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Qual a Tangente de 60 graus?
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Bem, Tangente, "Soh cah toa". Tangente é o cateto oposto sobre o adjacente.
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O oposto ao ângulo de 60 graus
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é 2 raíz quadrada de 3
-
2 raiz quadrada de 3
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e o adjacente a isso.
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Adjacente que é 2.
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O adjacente ao ângulo de 60 graus é 2.
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Então, o oposto sobre cateto adjacente, 2 raiz quadrada de 3 sobre 2,
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que é igual a raiz quadrada de 3.
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Veja como eles se relacionam!
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O Seno de 30 é igual ao Cosseno de 60 graus!
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O Cosesno de 30 graus é igual ao Seno de 60!
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E esses caras aqui são o inverso um do outro!
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Se você pensar um pouco sobre esse triângulo
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tudo começa a fazer sentido.
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Amprofundaremos no assunto
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e praticaremos um pouco mais nos próximos vídeos.
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