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Facciamo un'altra tonnellata di esempi, giusto per assicurarci di capire
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proprio bene queste funzioni trigonometriche.
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Percio' costruiamoci qualche triangolo rettangolo.
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Costruiamoci qualche triangolo rettangolo e voglio essere molto chiaro: il modo in cui l'ho definito
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finora, funziona solo con i triangoli rettangoli, quindi se provi a trovare
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le funzioni trigonometriche degli angoli che non fanno parte di un triangolo rettangolo, vedremo che avremo bisogno
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di costruire triangoli rettangoli, ma ora concentriamoci sui triangoli rettangoli.
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Allora diciamo che ho un triangolo, dove diciamo che questa lunghezza qui sotto e' 7
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e diciamo che questa lunghezza qui sopra, diciamo che e' 4.
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Calcoliamo quanto sara' l'ipotenusa. Allora sappiamo ---
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chiamiamo l'ipotenusa h.
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Sappiamo che h^2 sara' uguale a 7^2 + 4^2, lo sappiamo
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dal teorema di Pitagora,
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che l'ipotenusa al quadrato e' uguale
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al quadrato di ogni, alla somma del quadrato
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degli altri due lati. 8^2 = 7^2 + 4^2.
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Percio' questo e' 49,
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49 + 16,
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49 + 10 = 59, piu' 6 fa
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65. Fa 65 quindi questo e' h^2.
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Fammelo scrivere: h^2.
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E' una sfumatura diversa di giallo --- quindi abbiamo h^2 uguale
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65. L'ho fatto bene? 49 + 10 = 59, piu' altri 6
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fa 65, o potremmo dire h uguale a, se prendiamo la radice quadrata
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Radice quadrata.
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Radice quadrata di 65. E non possiamo proprio semplificarlo per niente.
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Questo e' 13,
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questo e' come 13 per 5, nessuno dei due e' un quadrato perfetto e
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sono entrambi numeri primi quindi non lo puoi semplificare piu' di cosi'.
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Percio' questo e' uguale alla radice quadrata
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Ora troviamo, troviamo le funzioni trigonometriche per quest'angolo qui sopra. Chiamimo quest'angolo theta.
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Quindi ogni volta che lo fai
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vuoi sempre scrivere --- o almeno per me funziona scriverlo ---
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"SOH CAH TOA".
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SOH.
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SOH CAH TOA. Ho questi vaghi ricordi
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del mio
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insegnante di trigonometria, magari l'ho letto su qualche libro, non lo so --- sai, tipo, un qualche
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tipo di principessa indiana chiamata Soh Cah Toa, o roba cosi', ma e' uno mnemonico molto
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utile, quindi possiamo applicare SOH CAH TOA. Troviamo,
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diciamo che vogliamo trovare il coseno. Vogliamo trovare il coseno del nostro angolo.
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Vogliamo trovare il coseno dell'angolo, dici: SOH CAH TOA!
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Allora, il CAH. CAH ci dice cosa fare col coseno,
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la parte CAH ci dice
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che il coseno e' l'Adiacente fratto l'ipotenusa.
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Coseno = adiacente
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Quindi diamo un'occhiata a theta. Qual e' il lato adiacente?
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Beh sappiamo che l'ipotenusa,
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lo sappiamo che l'ipotenusa e' il lato qui sopra
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quindi non puo' essere quel lato. L'unico altro lato che e' tipo adiacente
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che non e' l'ipotenusa e' questo 4.
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Quindi l'adiacente qui, questo lato e',
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sta letteralmente attaccato all'angolo, e' uno dei lati che tipo forma l'angolo,
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e' 4,
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L'ipotenusa sappiamo gia' che e' la radice quadrata di 65, quindi e' 4
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fratto
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E alle volte vorranno che razionalizzi il denominatore, che significa che non gli piace
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avere un numero irrazionale al denominatore, come la radice quadrata di 65
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e se --- se lo vuoi riscrivere senza un
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numero irrazionale al denominatore, puoi moltiplicare il numeratore e il denominatore
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per la radice quadrata di 65.
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Questo chiaramente non cambia il numero, perche' se lo moltiplichi per qualcosa su se' stesso, percio'
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stiamo moltiplicando il numero per uno. Non cambia il numero, ma almeno ci libera del
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numero irrazionale al denominatore. Quindi il numeratore diventa
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4 per la radice quadrata di 65
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e il denominatore, radice quadrata di 65 per radice quadrata di 65, fara' semplicemente 65.
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Non ci siamo liberati del numero irrazionale, sta sempre li', ma ora sta al numeratore.
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Ora facciamo le altre funzioni trigonometriche,
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o quantomeno le altre funzioni trigonometriche fondamentali. Impareremo in futuro che ce n'e' un'altra tonnellata
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ma derivano tutte da queste.
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Quindi pensiamo a quant'e' il seno di theta. Di nuovo andiamo sul SOH CAH TOA.
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Il SOH dice cosa fare col seno.Il seno e' opposto fratto ipotenusa.
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Seno e' uguale a
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opposto su ipotenusa. Seno e' opposto su ipotenusa.
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Quindi per quest'angolo quale lato e' l'opposto?
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Andiamo semplicemente sull'opposto, su quello su cui si apre, sta all'opposto i 7
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quindi il lato opposto e' 7.
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Questo qui --- questo e' il lato opposto
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e poi
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l'ipotenusa --- e' opposto fratto ipotenusa --- l'ipotenusa e'
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e di nuovo se lo vogliamo razionalizzare, possiamo moltiplicarlo per la radice quadrata di 65
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fratto la radice quadrata di 65.
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Al numeratore, otteniamo 7 radice di 65 e al denominatore otteniamo semplicemente
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di nuovo 65.
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Facciamo la tangente.
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Facciamo la tangente.
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Quindi se ti chiedo la tangente
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di --- la tangente di theta.
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Di nuovo torniamo a SOH CAH
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TOAH. La parte TOAH ci dice cosa fare per la tangente.
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Ci dice,
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ci dice che la tangente
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e' uguale all'opposto fratto l'adiacente. E' uguale a opposto
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fratto,
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opposto fratto adiacente.
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Allora per quest'angolo
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qual'e' l'opposto. L'abbiamo gia' capito, e' 7. Si apre verso il 7, l'opposto
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e' sette.
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Quindi e' 7
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Beh 4 e' adiacente.
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Questo 4 e' adiacente quindi il lato adiacente e' 4.
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Percio' e' 7
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e abbiamo finito.
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Abbiamo capito tutti i rapporti trigonometrici per theta. Facciamone un altro.
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Facciamone un altro. Lo rendero' un po' piu' concreto, perche' per adesso quello che abbiamo detto e': oh,
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tangente di x, tangente di theta. Rendiamolo un po' piu' concreto.
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Diciamo,
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diciamo --- fammi disegnare un altro triangolo rettangolo.
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Questo qui e' un altro triangolo rettangolo.
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Tutto quello con cui stiamo avendo a che fare ---
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Diciamo che l'ipotenusa
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ha lunghezza 4.
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E diciamo che questa lunghezza qui sara' due volte la radice quadrata di 3. Possiamo
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verificare che funziona.
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Se hai questo lato al quadrato, quindi hai --- fammelo scrivere. Due per la radice quadrata di
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3 al quadrato
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piu' 2^2 e' uguale a quanto.
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Questo e'
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4 * 3 + 4.
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E questo sara' uguale a 12 + 4 fa 16 e 16 e' indubbiamente
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4^2 percio' questo e' uguale a 4^2.
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E' uguale a 4^2, soddisfa il teorema di Pitagora.
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E se ti ricordi un po' del lavoro sui triagnoli 30-60-90 che potresti aver
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imparato in geometria magari riconosci che questo
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qui e' un triangolo 30-60-90. Questo e' l'angolo retto e avrei dovuto
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disegnarlo fin dall'inizio per mostrare che questo e' un triangolo rettangolo.
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Quest'angolo qui e' l'angolo di 30 gradi
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e quest'angolo qui sopra, quest'angolo qui sopra e'
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un angolo di 60 gradi.
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Ed e' un 30-60-90 perche'
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il lato opposto al 30 gradi e' meta' dell'ipotenusa
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e il lato opposto ai 60 gradi e' a^2 3 volte l'altro lato
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che non e' l'ipotenusa.
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Quindi questo --- non faremo --- non dovrebbe essere un ripasso dei triangoli 30-60-90,
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In realta' calcoliamo i rapporti trigonometrici per angoli diversi.
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Percio' se ti chiedessi ---
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quant'e' il seno di 30 gradi.
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E ricordati che 30 gradi e' uno degli angoli in questo triangolo, ma si applicherebbe
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ogni volta che hai un angolo di 30 gradi e hai a che fare con un triangolo rettangolo. In futuro avremo
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una definizione piu' generale ma se dici seno di 30 gradi ---
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hey, questo qui non e' oro, e' 30 gradi, quindi posso usare questo triangolo rettangolo
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e dobbiamo solo ricordarci SOH CAH TOA.
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Lo riscrivo. SOH.
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Seno ci dice, SOH ci dice cosa fare col seno. Il seno e' opposto fratto ipotenusa.
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Il seno di trenta gradi e' il lato opposto ---
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e' questo il lato opposto, che e' 2,
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fratto l'ipotenusa. Qui l'ipotenusa e' 4.
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E' 4 mezzi che e' come dire un mezzo.
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Il seno di 30 gradi vedrai che sara' sempre uguale
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Adesso, quant'e'
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Quant'e' il coseno di
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Di nuovo torniamo a SOH CAH TOA.
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Il CAH ci dice cosa fare col coseno. Il Coseno e' l'adiacente fratto l'ipotenusa.
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Quindi se guardiamo l'angolo di 30 gradi, e' l'adiacente, questo qui e'
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l'adiacente. E' quello che gli sta attaccato.
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Non e' l'ipotenusa.
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E' l'adiacente fratto l'ipotenusa quindi e' due
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Adiacente
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O se lo semplifichiamo, poi il numeratore e il denominatore per 2. E' la radice quadrata di 3
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fratto 2.
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Infine facciamo
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Tangente di 30 gradi.
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Torniamo a SOH CAH TOA.
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SOH CAH TOA.
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TOA ci dice cosa fare con la tangente. E' opposto fratto adiacente.
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Vai all'angolo di 30 gradi perche' e' questo che ci interessa, tangente di 30,
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tangente di 30. L'opposto e' 2,
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l'opposto e' 2 e l'adiacente e' 2 radice quadrata di 3, e' quello che gli sta attaccato, e'
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adiacente.
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Adiacente significa attaccato.
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Quindi 2 radice quadrata di 3.
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Percio' e' uguale a ---
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questi 2 si annullano, 1 fratto la radice quadrata di 3.
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O potremmo moltiplicare il numeratore e il denominatore per la radice quadrata di 3.
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Quindi abbiamo
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E quindi questo sara' uguale al numeratore radice quadrata di tre e poi il denominatore
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qui sara' solo 3, quindi e' --- abbiamo razionalizzato la radice quadrata di 3.
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Va bene.
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Ora usiamo lo stesso triangolo per capire i rapporti trigonometrici per i 60 gradi
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visto che l'abbiamo gia' disegnato.
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Quindi quant'e'.
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Quant'e' il seno di 30 gradi e penso che si spera che ci stiamo prendendo la mano adesso.
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Il seno e' l'opposto fratto l'adiacente, SOH. Dal SOH CAH TOA. Dall'angolo di 60 gradi qual e' il lato
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opposto.
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Che cosa si apre da li'? Il 2 radice quadrata di 3. Quindi il lato opposto e' 2 radice quadrata di 3
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e dall'angolo di 30 gradi il lato adiac --- oh scusa, e'
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opposto su ipotenusa, non ti voglio confondere.
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Allora e' opposto su ipotenusa.
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Quindi e' 2 radice quadrata di 3 su 4. Quattro e' l'ipotenusa.
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Quindi e' uguale a, si semplifica a radice quadrata di 3 su 2.
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Quant'e' il coseno di 60 gradi. Il coseno di 60 gradi.
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Quindi ricordati SOH CAH TOA. Il coseno e' adiacente su ipotenusa.
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L'adiacente e' i due lati attaccati all'angolo di 60 gradi percio' e' 2
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sull'ipotenusa che e' 4,
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quindi e' uguale a
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E poi infine
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quant'e' la tangente, quant'e' la tangente
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Beh la tangente SOH CAH TOA e' opposto su adiacente.
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Opposto ai 60 gradi
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c'e' 2 radice quadrata di 3.
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2 radice quadrata di 3.
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E adiacente a quello,
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adiacente a quello
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L'adiacente ai 60 gradi e' il 2.
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Quindi opposto su adiacente.
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2 radice quadrata di 3 su 2 che e' semplicemente uguale
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E voglio solo --- guarda come sono collegati.
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Il seno di 30 e' uguale al coseno di 30 gradi. Il coseno di 30 gradi e' lo stesso del seno di 30 gradi
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e poi questi tizi sono l'uno l'inverso dell'altro. E se pensi un po' a questo triangolo
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comincia ad avere un senso il perche'. Continueremo ad estendere questa cosa e faremo un sacco di pratica nel prossimo
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paio di video.
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