-
Меня просили разобрать
-
теорему Лагра́нжа о среднем значении, её ещё называют формулой конечных приращений.
-
Давайте поговорим об этом в этом видео.
-
Итак, теорема Лагранжа.
-
Вообще-то мое отношение к ней не однозначно.
-
С одной стороны она проста, но то, что вы увидите может быть
-
не очень-то легко доказать, хотя смысл
-
довольно очевиден.
-
Причина моего неоднозначного отношения в том, что,
-
как мы увидим, смысл довольно
-
очевиден, но ее засунули в учебник математики, когда человек
-
только пытается постигнуть дифференциальное исчисление и разобраться в его основах,
-
и тут вдруг появляется эта теорема
-
со всеми ее нюансами, со всеми
-
словами, которые просто сбивают с толку.
-
Надеюсь, мы с этим разберемся в этом видео,
-
и мне интересно узнать ваше мнение.
-
Приступим.
-
Какой же смысл у этой формулы (теоремы)?
-
Нарисуем оси координат.
-
Сначала я объясню все графически.
-
Пожалуй, тут понадобится красный цвет.
-
Ось Х.
-
Ось Y.
-
Предположим, что у меня есть некоторая функция f от x.
-
Давайте нарисуем f от х.
-
Примерно так.
-
Вот некоторая функци f от x, и она должна
-
отвечать некоторым условиям.
-
f от x должна быть непрерывной и дифференцируемой.
-
И я знаю, что некоторые могут испугаться
-
при этих словах.
-
Какой-то математический жаргон,
-
доволено бессмысленно.
-
"Непрерывная" означает, что кривая не имеет разрывов.
-
По ней можно пройти от начала до конца.
-
И здесь условия применимы к отрезку.
-
И это тоже очень математический термин.
-
И чаще вы бы сказали, на замкнутом отрезке от a до b.
-
И все что это значит - интервал, предположим "a" это нижняя точка,
-
например, это "a", не важно, какое его значение.
-
Это может быть минус 5, или что-нибудь ещё.
-
А вот здесь у нас "b", прямо здесь.
-
Допустим, что "b" у нас здесь.
-
Мы говорим об отрезке,
-
это значит, что функция должна быть
-
определена для каждого числа между "a" и "b", а кроме того
-
она должна быть определена в точках "a" и "b".
-
Если сказано "над открытым интервалом" между "a" и "b", значит
-
функция должна быть определена только для каждого числа между "a" и "b",
-
но не обязательно в точках "a" и "b".
-
Итак, функция должна быть непрерывной и дифференцируемой и
-
она определена на отрезке
-
обозначенном "аb".
-
Это означает, что она должна быть определена в любой точке x.
-
от a до b, включая конечные точки a и b..
-
Если бы это был открытый интервал, мы бы написали это так:
-
Вы бы написали а и b.
-
Это означает интервал между а и
-
b, не включая эти точки.
-
Можно пока об этом не беспокоиться.
-
Вернемся к нашей теореме.
-
Надеюсь, вы знаете, что такое непрерывная функция.
-
Для примера нарисуем прерывистую функцию.
-
Таким образом будет функция, которая не является непрерывной будет
-
выглядеть вот так.
-
Она начнется тут,
-
а потом перескочит сюда.
-
Так?
-
Так что это будет пример функции, давайте скажем,
-
одинаковый осей, я нарисую его в другом цвете.
-
Если это наша y--нет, так не хорошо.
-
Если это была наша ось y, и это наша ось x, просто
-
дать вам ссылку на то, что я нарисовал.
-
Таким образом, если функция является непрерывной, непрерывной,
-
непрерывной и затем она прыгает, этот разрыв
-
сделает эту функцию прерывистой, или она
-
не будет непрерывной.
-
Поэтому функция просто должна быть непрерывной.
-
А что же такое дифференцируемая?
-
Дифференцируемость означает, что в каждой точке рассматриваемого интервала
-
мы должны быть в состоянии найти производную.
-
Это означает, что вы можете взять производную.
-
Это дифференцируемая.
-
Что еще это означает?
-
Это значит, что если бы вы нарисовали производную,
-
то она тоже была бы непрерывной..
-
Давайте остановимся на секундочку, чтобы это переварить.
-
Я вам тут покажу пример
-
функции, которая является непрерывной, но не дифференцируемой и
-
в результате теорема не работает.
-
Итак, давайте вернемся к нашей теореме.
-
Большинство функций, с которыми мы имеем дело удовлетворяют всем
-
трем из этих вещей.
-
Если вы не знаете, вы делаете предел проблемы, и они пытаются
-
сделать эти вещи выходят из строя.
-
Вернемся обратно к функции.
-
Итак, эта функция отвечает всем этим требованиям.
-
Поэтому все, что он говорит это, если я был средний уклон
-
между точкой и пункт б.
-
Что же такое угловой коэффициент, средний угловой коэффициент между
-
точками a и b?
-
Ну угловой коэффициент является просто углом подъема, правильно?
-
Что же такое это?
-
Я хотел бы видеть, если я могу , нарисовать средний угловой коэффициент.
-
То есть пробег будет расстоянием.
-
Это было бы пробегом, правильно?, и это будет рост.
-
Так что это точка, прямо здесь, это
-
точка a, f от a.
-
Смотрите сюда, это точка b, f от b.
-
Что такое средний угловой коэффициент между и b?
-
Ну это повышение перспективе.
-
Что же такое повышение?
-
Что такое это расстояние?
-
Насколько мы выросли из f(a) к f(b)?
-
Ну, рост будет f b, это
-
Высота минус f.
-
f(b) минус f(a).
-
И что такое прогон, что это расстояние?
-
Ну, это просто b минус a.
-
И если бы я хотел нарисовать линию, имеющий этот средний наклон, она
-
выглядела бы примерно так.
-
Мы смогли сделать его пройти через эти две точки, но это
-
действительно не должен.
-
Позвольте мне сделать это в голубой.
-
Так что это средняя склон между теми, кто
-
две точки, правильно?
-
Так что среднее значение Теорема говорит нам?
-
Он говорит, если f x определяется этот интервал закрыто от
-
b и f x непрерывный, и это
-
дифференцируемые, что можно было взять производной в любое
-
Укажите, что должна существовать некоторые точки c f расцвете c-
-
равный к этой вещи.
-
Так что равно f расцвете c.
-
Я не написали его здесь.
-
Так что это говорит нам?
-
Таким образом все это говорит нам, является, если мы непрерывно,
-
дифференцируемые, определенными в закрытый период времени, что
-
есть некоторые точка c, Ах, и c должно быть между и b,
-
есть какой-то момент между и b и он может быть в одном
-
из точек но есть некоторые точка c где производной в
-
c или склона в c, мгновенно склона в c, является
-
точно равен средний уклон за этот интервал.
-
Так что это значит?
-
Так что мы можем смотреть на него визуально.
-
Есть любой точке вдоль этой кривой, где наклон выглядит
-
очень похож на этот средний склон, который мы подсчитали?
-
Ну конечно, посмотрим.
-
Он выглядит как, может быть, здесь, прямо здесь?
-
Именно так, как я обратил его.
-
Это весьма неточной.
-
Но это точка выглядит как склона, вы знаете, я мог бы
-
скажем склона есть что-то вроде этого.
-
Таким образом мы не знаем какие, аналитически, эта функция является,
-
но визуально, вы могли бы видеть, что на этом точка c,
-
производные, так что я просто выбрал этот момент.
-
Так что это может быть наша точка c.
-
И как нам как раз сказать, что?
-
Ну, потому что f расцвете c этот склон, и она равна
-
Средняя склона.
-
Так что f расцвете c эту вещь, и это будет равняться
-
Средняя склон за все это.
-
И эта кривая, на самом деле, вероятно, имеет другую точку
-
где наклон равен средний уклон.
-
Давайте посмотрим.
-
Это выглядит, как, прямо примерно там.
-
Именно так, как я обратил его.
-
Похоже там склона может выглядеть примерно так,
-
может быть параллельной также.
-
Эти строки должны быть параллельно.
-
Касательных линии должна быть параллельной.
-
Так надеюсь это делает мало смысла для вас.
-
Еще один способ думать о нем-это ваш средний, на самом деле,
-
Позвольте мне привлечь граф просто чтобы убедиться, что мы
-
хит точки дома.
-
Нарисуем моя позиция как функции времени.
-
Так что это что-то, это будет сделать его применимым
-
в реальном мире.
-
Так вот моя оси x или оси времени, что в
-
Моя позиция ось.
-
Это собирается вернуться к нашей первоначальной интуиция о том, что
-
даже производная есть.
-
Так что это время, и я призываю эту позицию или расстояния,
-
или это не имеет значения.
-
Позиция.
-
И если я движется с постоянной скоростью, моя позиция
-
в зависимости от времени бы просто быть прямой линии, правильно?
-
И скорость является на самом деле вашего склоне.
-
Но давайте скажем, что я был разной скорости.
-
И в самом деле, если вы за рулем автомобиля, вы всегда
-
двигаетесь с переменной скоростью.
-
Итак, я начинаю с точки, в которой момент времени t равен 0,
-
и тогда я ускорить, то я чуть-чуть, снизятся
-
несколько снизятся, я держать замедление, и тогда я
-
в тупик так что моя позиция остается до сих пор.
-
Тогда я снова ускорить, замедлятся,
-
ускорить, и так далее.
-
Право?
-
Так что это может быть, вы знаете, у меня есть переменная скорость, и
-
Это может быть моя позиция как функции времени.
-
Таким образом, все это говорит, скажем, после этого, это
-
это время 0, позиции 0.
-
Скажем через 1 час, давайте скажем то есть 1 час, на этот раз
-
равен 1 час, давайте скажем я пошел 60 миль.
-
Так что вы можете сказать?
-
Можно сказать, что моя средняя скорость равна просто изменить в
-
расстояние, деленное на изменения в мирное время.
-
Он равен 60 миль в час.
-
Что же говорит Теорема средние значения, такое ОК.
-
Ваш средняя скорость, так что вы почти можно было просматривать его как
-
Средняя склон между этой точкой и этот момент с 60,
-
Средняя скорость была 60 миль в час, есть ли некоторые
-
момент времени, возможно, больше, но было по крайней мере один пункт в
-
время, когда вы собирались ровно шестьдесят миль в час.
-
Это смысл, правильно?
-
Если вы в среднем 60 миль в час, может быть, вы собираетесь 40
-
миль в час, некоторые точки, но в какой момент вам
-
пошли 80, и между ними вам пришлось идти 60 миль в час.
-
Поэтому позвольте мне видеть, если я могу нарисовать, графически.
-
Так что этот наклон является моя средняя скорость и то, что я обратил
-
Она, скорее всего два очка, давайте посмотрим, вероятно,
-
право здесь, я вероятно буду 60 миль на
-
час, наклон, вероятно, 60 там, мгновенно
-
скорость вероятно там, как хорошо.
-
Так что прежде чем я покину, давайте делать это аналитически, а только
-
для работы с числами.
-
И причина того, что мне не однозначна эта
-
теорема, это то, что она наверное будет полезна позже, если вы решите стать математиком,
-
тогда может быть вы ее используете для доказательства других теорем, или
-
вы докажете саму эту теорему.
-
Но если вы просто учите дифференциальное исчисление,
-
вы не будете особенно использовать эту
-
теорему.
-
Но если вам нужно ее знать, то нужно ее знать,
-
и она рассказывает вам что-то другое о мире, поэтому
-
она интересна в этом смысле.
-
Предположим, у нас есть функция f от x и она равна
-
x квадрате минус 4x, и интервал, который мне нужен
-
здесь находится между, это закрытый интервал, поэтому я включаю
-
2, от 2 до 4.
-
Эта теорема рассказывает нам, что если эта
-
функция находится на этом интервале, и так оно и есть, не так ли?
-
Мы могли бы поставить любое число.
-
Область этого, на самом деле, все действительные числа, я могу поместить
-
туда любое число, так что, очевидно, это будет определено
-
по этому промежутку.
-
Это определено по интервалу, это непрерывно,
-
это дифференцированно.
-
Вы могли бы взять производное и производное
-
непрерывно.
-
Поэтому наша теорема должна здесь работать.
-
Давайте посмотрим какая величина "c" равна среднему
-
наклону между 2 и 4.
-
Так чтем же является средний наклон между 2 и 4?
-
Это будет f от 4, поэтому разница функции,
-
f от 4 минус f от 2 разделить на разницу в x, так что 4 минус 2.
-
Этим и является средний наклон.
-
Так что f от 4 это 16 минус 16, так ведь?
-
И это 0.
-
Давайте в этом убедимся.
-
4 умножить на 4, 16, минус 4 умножить на 4, 16, так?
-
минус f от 2.
-
f от 2 это 2 в квадрате, это 4, так?, и тогда
-
минус 4 и умножить на 2.
-
Так что минус 8.
-
Все это разделить на 2.
-
И это минус 4.
-
Это равно 4 разделить на 2.
-
Поэтому средний наклон от x равен 2, x
-
равен 4 и это 2.
-
И теперь теорема говорит нам, что там должна быть
-
некоторая точка, которая находится между этих двух, может быть включая одну из
-
тех, где наклон в этом месте точно равен 2.
-
Давайте найдем чему равна эта точка.
-
Эта "c".
-
Давайте возьмем производное, потому что производное в "c"
-
будет равно 2.
-
И мы просто берем производное.
-
Скажем что первичный f от x равен 2x минус 4.
-
И мы хотим найти, в каком значении x это будет равно 2.
-
Мы скажем
-
2x минус 4 равно 2.
-
Где наклон равен 2?
-
Вы получаете 2x равно 6, x равно 3.
-
Так что если x равно 3, производное точно равно
-
среднему наклону.
-
Дайте я сейчас достану свой графический
-
калькулятор.
-
Я посмотрю, что я могу сделать.
-
Ок.
-
Вот график x в квадрате минус 4x.
-
Может у меня получиться сделать это чуть по больше.
-
Интервал, который нам нужен, находиться от сюда до сюда.
-
Поэтому средний наклон за этот интервал был 2.
-
Если нам нужно было бы нарисовать наклон, то
-
наклон бы выглядел вот так.
-
И точка 3, наклон точно 2.
-
Давайте я это нарисую.
-
Это не так уж сложно нарисовать для себя.
-
Так...
-
Если это мои оси, то я бы убрал это график в сторону.
-
Это ось Y
-
Линия идет через (0,0) как
-
можно чище.
-
Не, так не чисто.
-
Линия идет как-то так, она проваливается вверх, и потом
-
вот так вот, и идет прямо,
-
вот так, это парабола.
-
Это точка 4.
-
Это 2.
-
И в точке 2 мы в минус 4, так что вершина
-
в точке 2, минус 4.
-
Как мы сказали, средний наклон, так что закрытый интервал,
-
который нам нужен, между 2 и 4, от 2
-
здесь до 4 здесь.
-
Это интервал, 2 до 4.
-
Средний наклон - 2.
-
Здесь не похоже, только потому что я немного
-
сжал ось Y.
-
И мы говорим, что в точке x =3, наклон
-
идет вот так.
-
Так что где x равен 3, наклон равен
-
точно тому же.
-
Вот и весь смысл этой теоремы.
-
Я знаю, это звучит сложно.
-
Люди говорят о непрерывности и дифференцируемости, и
-
первичный f от c, не все что это значит, это что там есть
-
точка между этими двумя точками, где мгновенный наклон,
-
или наклон точно в этом месте, равен наклону
-
межде этими двумя точками.
-
Надеюсь, я вас не запутал.
